西安交通大学高等数学期中考题 (2)

一、解答下列各题（每小题7分，共70分）

y2

１．设函数f x,y arcsin，求df(x,y)。214

x

2z z

２．设由方程x 2y xy z 9 0可确定z z(x,y)，求，。

x(1, 2,1) x y(1, 2,1)

2

2

３．求曲面z x2 y2 1在点A(2,1,4)处的切平面和法线方程。

x sint 2

４．求曲线 y t在t 0时的切线与法平面方程。

z 2t

５．交换累次积分的次序：I ６．计算二重积分： I

1

1

dy

1 y2

y2

f(x,y)dx，其中f(x,y)是连续。

x2 y2 a2

2(x siny 1)dxdy。

７．设空间立体 是由抛物面z x2 y2及平面z h 0所围成，已知它的密度为f(x,y,z) z2，试计算

它的质量。

８．求函数u 2yx z2在点A 2, 1,1 处的方向导数的最大值。 ９． 10．（工科分析做①其他做②）①设f(x,y) (x y,e

2

2

xyT

)求Df(1,1),df(1,1)；

x2 y2 uv u v

,。 u u(x,y),v v(x,y)②设方程组 2，确定了函数，求22

x x xy u v

y z 2z

二、（8分）设函数z f(xy,)，其中f(x,y)二阶偏导数连续，求,。

x x x y

2

x2y

,x2 y2 0 2

2三、（8分）设函数f(x,y) x y，试讨论该函数f(x,y)在点(0,0)的连续性、可微性。

0,x2 y2 0

四、（7分）求曲面z 1 x y在点M 1, 1,3 的切平面与曲面z x y所围立体的体积。

2

2

2

2

222

五．（7分）设函数f(x,y,z)在闭球体 :x y z 3上有连续的偏导数，且满足条件①在 上

f

1， x

f f

1，②f(1,1,1) 11，试求函数f(x,y,z)并证明7 f(x,y,z) 13, (x,y,z) 。 1， z y

一、填空（每小题3分，共15分）

1．设函数f(x,y) 2x2 ax xy2 2y在(1, 1)处取得极值，则常数a ；

2．函数z ln(e x

x2

y

)在点 1,1 处沿l {1,0}方向的方向导数 z l ； 3．曲线x cost,y sint,z tant

2

在点 0,1,1 处的切线方程是 4. 交换累次积分的积分次序：

1

x23 x

0dx

f(x,y)dy 21

dx

f(x,y)dy

5.设M 1, 1,2 是曲面z f(x,y)上的一点，若fx(1, 1) 3，在任一点(x,y)处有:

xfx(x,y) yfy(x,y) f(x,y)，则曲面在M处的切平面的方程是

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

4xy

1．函数f(x,y) x2 y2

,x2 y2 0在点(0,0)处间断的原因是f(x,y)（ ）

0,

x2 y2 0A．在原点无定义； B．在原点极限存在但在原点无定义；

C．在原点极限不存在； D．在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值； 2．函数f x,y 2xy 3x2 2y2 10，点(0,0)处（ ）；

Ａ．取得极大值； B．取得极小值； C．无极值； D．不能判断是否取得极值； ３．设u arctan

y

x

，则gradu(1,1) （ ）； (A) 12； (B) 12； (C) {12, 12； (D) { 11

2,2

} 。

４．设f(u)是连续函数，平面区域D:0 y x2

(x 1)，则

(x

2

y2)dxdy＝（ ）。( fD)

(A) 1

x2

22

(B)

1

1 y2

dx

0f(x y)dy； 0

dy

0f(x2 y2)dx；

(C)

1

2

1

d 0

f( ) d ； (D)

d 0

f( 2)d 。

５．比较I

(x y)2

dxdy与J

(x y)3dxdy的大小，其中D:(x 2)2 (y 2)2

2，则（(D)

(D)

I J； (B) I J； (C) I J； (D) I J。

三、解答下列各题（每小题8分，共64分）

y z 2１．设函数z arctanx lnx2 y2

，求z x, x y

。

２．求曲面x

y z 2在任一点的切平面与三个坐标轴的截距之和。

） (A)

３．计算二重积分：I

1

dx 2

x

1

xy y

3

dy。

４．（工科分析做①其他做②）①求向量值函数f(x,y) (x2,xy,y2)T的Jacobi矩阵； ②设函数z z(x,y)由方程F(x2 y2,y2 z2) 0所确定，其中F(u,v)可微，求y

z z

x. x y

５．设F(t)

x2 y2 t2

sin

e

x2 y2

dxdy，求lim

t

2

F (t)

.。 t

1 2222

(x y)sin 22,x y 0６．讨论函数f(x,y) 在(0,0)处的可微性。 x y22

,x y 0 0

７．设有一物体，它是由曲面z

试求此物体的质量。

x2 y2和z x2 y2所围成，已知它在任意一点处得密度为 z，

y 2z８．设函数z f(x,)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz,。

x x y

四（6分）在第一卦限内作旋转抛物面z 1 x2 y2的切平面，使得该切平面与旋转抛物面

z 1 x2 y2(x 0,y 0)及三个坐标面所围成的立体的体积最小，求切点坐标。

高等数学(I、II)期中考试题 2010年5月8日

一、填空（每小题3分，共15分） 1．设z xy e

xyz

x

)，则du(1,2.0) 。 y

x t3 2

2．设曲线为 y t，则它在t 1所对应点处的切线方程为 ；

z t

222

3．设f x,y,z lnx y z，则gradf(1,1,1) 。

111

,,}的方向导数为 ； ４．设函数u 2xy z，则u在点 2, 1,1 处沿方向l 2

５．I

x2 y2 R2

(x

2

y)dxdy = 。

二、解答下列各题（每小题7分，共63分）

１．求曲面z x y 1在点(2,1,4)处的切平面方程和法线方程。

2

2

２．计算积分：I

1

1

dy

1 1 y2

y2

sinxy

dx。 x

y2 2z

３．设函数z xf(2x,)，其中f二阶偏导数连续求。

x x y

xy22 22,x y 0４．讨论函数f(x,y) x y在(0,0)处的偏导数的存在性及可微性。 22

,x y 0 0

５．设有形状为旋转抛物面的一容器，其中心轴截面与容器的截面方程为y x2，现将长为l的细棒ＡＢ置于容器之中，试求细棒中点的最低位置（设l 1）． ６．（工科分析做①其他做②） ①求向量值函数f [sin(x2 y2),ln(x2 z2),

1y2 z2

)T在点(1,1,1)处的导数；

2z②设由方程x 2y z 4x 2z 5 0所确定的隐函数z z(x,y)的二阶导数2.

x

2

2

2

７．计算二重积分

D

x2 y2dxdy，其中D {(x,y)2x x2 y2 4,x 0,y 0}。

８．设二元函数z z(x,y)在ｘｏｙ平面上的任意一个有界区域Ｄ内存在一阶连续的偏导数，且

z z 22 dxdy 2xz xz dxdy，试求函数z z(x,y)。 x x D D

９．设函数f(t)在[0, )上连续，且满足方程f(t) e4 t

2

2

2

x y2 4t2

f(

12

x y2)dxdy，求f(t)。 2

三、讨论题（每小题11分，共22分）

１．计算二元函数z f(x,y)在点P0(x0,y0)处对ｘ的偏导数fx(x0,y0)时，可以现将y y0代入f(x,y)中，再求一元函数f(x,y0)在x0处对ｘ的偏导数，即fx(x0,y0)

2

2

4

df(x,y0)

dx

x x0

,为什么？

２．试通过讨论函数f(x,y) 12x 8xy y的极值点来说明当点(x,y)在过P0(x0,y0)的任一直线Ｌ上变动时，二元函数f(x,y)都在P0(x0,y0)处取得极值，能否断定该函数在P0(x0,y0)处取得极值？ 高等数学(I、II)期中考试题 2011年5月8日 一、填空（每小题5分，共20分） 1．求函数f(x,y) elnsin(x 2y)在

x

,0 点处的全微分df 。 4

2．设函数u 2xy z2，则u在点 2, 1,1 处沿方向的方向导数的最大值为 ； 3．求曲面x2 2y2 z2 1在点(,, )处的切平面方程为 ；

112212

xz 2z

4. 设z z(x,y)由方程 ln确定，则2 。

zy x

二、单选题（每小题5分，共20分）

x t3

2

１．在曲线 y t的所有切线中，与平面x 2y z 4平行的切线（ ）；

z t

A．只有1条； B．只有2条； C．只有3条； D．不存在；

1

2. lim2

r 0 r

x2 y2 r2

e

x2 y2

。 cos(x y)dxdy = （ ）

A． ； B．3. 设f(x,y)连续，则I

(A) I (C) I

1

； C．1； D．-1；

e

1

dx

lnx

。 f(x,y)dy交换积分次序后为（ ）

e

1

dy

1

elnx

0e

f(x,y)dx； (B) I ydy f(x,y)dx；

e

1

e

e

lnx

dy f(x,y)dx； (D) I dy yf(x,y)dx。

1

xy22

22,x y 04.函数f(x,y) x y在(0,0)处（ ）。 22

,x y 0 0

A．无定义； B．连续； C．有极限但不连续； D．无极限；

三、（10分）设函数f(u,v)可微，z z(x,y)是由方程z xy f(xz,yz)确定的可微函数，求

z z

,； x y

四、（10分）讨论函数f(x,y) xy在(0,0)处的连续性、可导性、可微性。

22五、（10分）在曲面 :z x 2y上求一点p(x0,y0,z0)，使它到平面 :x 2y 2z 6 0的距离最短。

六、（10分）计算I

2

1

dxsin

x

x

2y

dy dxsin

2

42

x

2y

dy；

七、（10分）计算二重积分

sin

D

x2 y2dxdy其中D: 2 x2 y2 4 2。

八、（4分）（工科分析做①其他做②）

xT

①求向量值函数f(x,y,z) (xcosy,ye,sin(xz))的Jacobi矩阵；