第三章-表示力学量的算符-习题

第三章 表示力学量的算符

第一部分；基本思想与基本概念题目

1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。 2. 如何理解力学量完全集？ 3. 守恒量有哪些特征？

4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？ 5. 如何构造力学量算符？

6. 若 1与 2是力学量F属于同一本征值 的两个不同本征函数，则 ＝C1 1＋C2 2（C1，C2是任意常数）是否仍是F的本征函数。

7. 设[Â， ]＝0，则力学量Â和 是否一定可同时确定？ 8. 设[Â， ]≠0，则力学量Â和 是否一定不可同时确定？ 9. 试述│Cn│2的物理意义。

10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？

11. 对氢原子n，l，m这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。

13. t＝0时，粒子处于力学量F的 本征态，则在t时刻它是否处于该本征态？ 14.

2的本征态是否一定是 L 的本征态？举例说明。 Lz

的本征态是否一定是L 2的本征态？ 15. Lz

16. 当氢原子处于 nlm（r， ， ）＝Rnl（r）Ylm（ ， ）态时，哪

些力学量可同时确定，其值分别是多少？

17. 若[Â， ]＝0，则粒子是否一定处于A和B两力学量的共同本征态？

第二部分：基本技能训练题

1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态） 2. 判断下列等式是否正确

T U (1) H

(2 (3) H E T U

3. 设 （x）归一化，｛ k｝是

k

的本征函数，且 F

(x) Ck k(x)

（1） （2） （3）

试推导Ck的表达式。

求证力学量在 （x）态的平均值 CkFk。

k

2

说明|Ck|2的物理意义。

4. 一维谐振子处于基态 0（x）态，求该态中 （1） （2） （3）

势能的平均值

1

2x22

p2

动能的平均值

2

动量的几率分布。

5. 氢原子处于

(r, , ) （1） （2） （3）

r的平均值。 －e2/r的平均值 最可几半径.

ra0

态，求

（4） 动能平均值.

6. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量为

Jer= Je =0, Je =(-e m/μrsinθ)|ψnlm|2

7. 由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成 (1) 求一圆周电流的磁矩

(2) 求证氢原子磁矩为 M=Mz=-me /2μ

8. 求一维无限深势阱中粒子动量与位置的测不准关系

( x)2 ( p)2 ?

2与 L 是守恒量. 9. 证明氢原子中电子的力学量算符 Lz

10. 设线谐振子处于 (x) 0(x) 1(x) 描述的状态, 则在该态中能量可能取哪些值? 对应的几率各是多少? ( 0(x), 1(x) 分别是基态与第一激发态的本征函数)。 11. 上题中用两种方法求能量平均值。

12. 设粒子处于Ylm( , )态,求该态中Lx, Ly, Lz的平均值.

13. 一刚性转子的转动惯量为I,它的能量经典表达式是H=L2/2I,这儿L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函数和定态能量。

（1） 转子绕一固定轴转动。 （2） 转子绕一点转动。

都是厄密算符，且F 和G G F G 14．若 F

G F G 是否是厄密算符？试证明。 (1) F

1

2

32

G F G )是否是厄密算符？试证明。 (2) i(F

0,证明 F 是厄密算符。 ，G] G 15. 设[F

16. t＝0时，粒子处于态

(x) A[sin2kx coskx]

求此时粒子平均能量和平均动能。

17. 证明：若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数。 18. 下列哪些算符是厄密算符

1

2

dd2dd2

; ; i; i 2dxdxdxdx2

19. 设氢原子处于

(r, , )

1R21Y10 R21Y1 1 22

求氢原子能量、角动量平方及z分量的可能值，可能值出现的几率，并求其平均值。

20. 证明自由粒子能级是简并的。

x i21. 求解算符 p

d

的本征方程。 dx

22. 求解自由粒子的能量本征方程。

Axe x x 0

23. 一维运动粒子的状态是 (x)

0 x 0

其中 >0，求

（1） 粒子动量的几率分布。 （2） 粒子平均动量。 24.

, y] , y] , y] -ix; 　　　 0; 　　　 iz 证明：　[L [L[Lzyx

25. 设体系处于 ＝C1Y11＋C2Y10态中，求

（1） 力学量Lz的可能值与平均值。 （2） L2的可能值与平均值。

2当本征函数为 26. 试求角动量平方算符L

Y( , )=A[cos +asin cos ]的本征值. 第三部分: 小论文题目 1. 量子力学中守恒量研究。 2. 守恒量与对称性之间关系。 3. 力学量平均值计算方法探讨。 4. 算符与它所表示力学量之间关系研究。 5. 球坐标下角动量算符的推导方法研究。