复习高数答案

　　高等数学复习

　　一．对积分基本概念及性质的理解

　　二. 定积分的计算

　　三．积分的应用

　　一．对积分基本概念及性质的理解

　　（一）有关不定积分

　　1.由原函数与不定积分的定义来理解原函数与不定积分的关系：

　　f（x）在区间I上的全体原函数称为f（x）在区间I上的不定积分。?f(x)dx?F(x)?c，c为任意常数。

　　2.求不定积分与求导数（求微分）的关系----互为逆运算

　　dF(x)?f(x)dx

　　微分运算：已知F(x)求

　　积分运算：已知f(x) f(x)dx求F(x)

　　??f(x)dx???f(x)或d?f(x)dx?f(x)dx

　　??f(x)dx?f(x)?c或 ?df(x)?f(c)?c

　　注：积分公式从导数公式中得出

　　例题（1）

　　若f(x)导函数是sinx，则f(x)的原函数是_______；

　　【分析】，那么f(x)应具有形式?cosx?c1，所以f(x)的导函数是sin（x）

　　f(x)的原函数应为?sinx?c1x?c2，其中c1,c2为任意常数。

　　（二）有关定积分

　　1.定积分的定义：

　　注意：

　　? 定积分要求积分区间有限，被积函数有界； lim?f(?i)?xi?af(x)dx???0i?1bn

　　? 用定义法求定积分时，也就是求积分和?

　　n

　　i?1

　　f(?i)?xi的极限。构造积分和形

　　式是关键；求n项和式的极限转化为求积分的思想。

　　? 定积分只是一个数，在定积分存在时，其值只与被积函数及积分区间有关； 例题（2） 求 limn??

　　1????

　　2n

　　【分析】将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．常见的情形有：?

　　b

　　a

　　i?b?a??b?a?

　　f?x?dx?lim?f?a?

　　?n??i?1?n?n

　　n

　　若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限。

　　?0,1?n写出积分

　　1111

　　解将区间?0,1?n等分，则每个小区间长为?xi?，然后把??的一个2

　　nnnn

　　因子即

　　1

　　乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分． n

　　1

　　lim2??

　　n??n

　　?

　　1lim?

　　?n??n?

　　?

　　3

　　4

　　2.几何意义:定积分的值为面积的代数和 例题（3） 求?

　　20

　　2x?x2dx?_____

　　解法1 由定积分的几何意义知，

　　?

　　20

　　2x?x2dx

　　等于上半圆周

　　?x?1?2?y2?1?y?0?与x轴所围成的图形的面积．故?02

　　解法2 直接用换元法求解．

　　??t令x?1?sint

　　?

　　2

　　2x?xdx?

　　2

　　?

　　2

　　??

　　2

　　?022x?xdx???2??sintdt?2?2?sint2costdt?202?2?

　　??2cost2dt?0? ?2

　　3.可积的充分或者必要条件：

　　（1）函数

　　（2）函数 f(x)在区间[a,b]上连续是f(x)在区间[a,b]上可积的_______条件；f(x)在区间[a,b]上有界且只有有限个间断点，f(x)在区间[a,b]上可积的________条件；

　　（3）函数f(x)在区间[a,b]上有界f(x)在区间[a,b]上可积的_______条件. 判断定积分是否存在

　　4.对区间的可加性

　　?b

　　af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx，c可以在[a,b]内，也可以在之外。 cb

　　5.估值定理

　　f(x)?[m,M]且函数连续，a?b有

　　m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

　　bbb

　　aaaba

　　; m?g(x)dx??f(x)g(x)dx?M?g(x)dx例题（4） ①证明不等式

　　解注意0?x?80???4xtanxdx?02??232?

　　4时，0?x?tanx?1，则

　　80???23?4x2dx?4

　　00??1xtanxdx??4xdx?x202??40??2

　　32

　　x?x②估计定积分的值． ?edx02

　　2

　　【分析】要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．

　　解设f(x)?ex?x, 因为f?(x)?ex?x(2x?1), 令f?(x)?0，求得驻点x?,而 221

　　2

　　1?1f(0)?e?1, f(2)?e, f()?e4, 202

　　故

　　e?1

　　4?f(x)?e2,x?[0,2],

　　从而

　　2e?1

　　4??ex

　　022?xdx?2e2,

　　所以

　　?2e??e220x2?xdx??2e. ?14

　　5.比较定理

　　?f(x)dx??

　　例题（5）

　　（1）比较M

　　（2）比较?0?babg(x)dx a??02sin?sinx?dx,N??02sinxdx，与1的大小； sinxsinx2?与???的大小. 2x2x??

　　【分析】当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小；而积分区间不同时，通过变量替换转化成积分区间相同的情形再进行比较大小。

　　解自己动手做一下

　　6.积分中值定理

　　如果函数

　　bf(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点?，使?af(x)?f(?)(b?a)(a???b)

　　例题（6） 求lim?n?p

　　n??nsinx, p,n为自然数． x

　　【分析】这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．

　　解法1 利用积分中值定理 设f(x)?sinx, 显然f(x)在[n,n?p]上连续, 由积分中值定理得 x

　　n?psinxsin?dx??p, ??[n,n?p], ?nx?

　　当n??时, ???, 而sin??1, 故

　　lim?n?p

　　n??nsinxsin?dx?lim?p?0． ????x

　　解法2 利用积分不等式

　　因为

　　?

　　而limlnn??n?pnn?psinxn?p1sinxn?p?????ln, nnxxxnn?p?0,所以 n

　　lim?n?p

　　n??nsinxdx?0． x

　　例题（7）

　　设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且4?f(x)dx?f(0)．证明在(0,1)内存1

　　在一点c，使f?(c)?0．

　　【分析】由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件f(?)?f(0)即可．

　　证明由题设f(x)在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得

　　13f(0)?4f(x)dx?4f(?)(1?)?f(?)， 4

　　其中??[,1]?[0,1]．于是由罗尔定理，存在c?(0,?)?(0,1)，使得f?(c)?0．证毕．

　　（三）变限定积分

　　1.如果f(x)在[a,b]上连续，则变积分上限的函数F(x)??f(t)dt是[a,b]上的ax34

　　可导函数，且它的导数是F?(x)?

　　注意： dxf(t)dt?f(x),(x??a,b?)。 ?adx

　　? 求导的四则运算，以及复合函数的求导方法对变限定积分的求导同样适用。 ? 讨论变限积分函数的性质。

　　2.原函数是否存在，如何求原函数。课本P244 11题

　　3.不定积分与变限定积分的关系

　　?f(x)dx??xf(t)dt?c，c为任意常数，x0,x?[a,b]

　　0x

　　例题（8）

　　（1）若f(x)??xe?tdt，则f?(x)=___； 2x2

　　（2）若f(x)??0xf(t)dt，求f?(x)=___．

　　【分析】这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 x

　　dv(x)f(t)dt?f[v(x)]v?(x)?f[u(x)]u?(x)． ?u(x)dx

　　42解（1） f ?( x ) ? 2 xe ?x ; ?e?x?

　　（2）由于在被积函数中x不是积分变量，故可提到积分号外即f(x)?x?0f(t)dt，则可得

　　f?(x)=?f(t)dt?xf(x)． 0xx

　　例题（9）

　　设函数f(x)连续，?(x)??0f(xt)dt，且limx?01f(x)，求??(x)并讨论??(x)?A（A为常数）x

　　在x?0处的连续性．

　　【分析】求??(x)不能直接求，因为?f(xt)dt中含有?(x)的自变量x，需要通过换01

　　元将x从被积函数中分离出来，然后利用积分上限函数的求导法则，求出??(x)，

　　注这是一道综合考查定积分换元法、对积分上限函数求导、按定义求导数、讨论函数在一点的连续性等知识点的综合题．而有些读者在做题过程中常会犯如下两种错误：

　　（1）直接求出

　　??(x)?

　　xf(x)??f(u)du

　　x

　　2x

　　，

　　而没有利用定义去求??(0)，就得到结论??(0)不存在或??(0)无定义，从而得出??(x)在x?0处不连续的结论．

　　（2）在求lim??(x)时，不是去拆成两项求极限，而是立即用洛必达法则，从

　　x?0

　　而导致

　　lim??(x)?x?0xf?(x)?f(x)?f(x)1?limf?(x). 2x2x?0

　　又由limx?0f(x)出现该错误的原因是由于使用洛?A用洛必达法则得到limf?(x)=A，x?0x

　　必达法则需要有条件：f(x)在x?0的邻域内可导．但题设中仅有f(x)连续的条件，因此上面出现的limf?(x)是否存在是不能确定的． x?0

　　（四）反常积分

　　1.积分区间不再有界时，为无穷区间上的反常积分

　　例题（10） 计算???

　　0dx． 2x?4x?3

　　【分析】该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算． 解???

　　0t1t11dxdx==lim(?)dx limx2?4x?3t????0x2?4x?3t???2?0x?1x?3

　　1x?1t1t?11=tlim[ln]0=lim(ln?ln) ???t???2x?32t?33

　　=ln3． 2

　　2.被积函数不再有界时，为无界函数的反常积分

　　例题（11）

　　计算?24．

　　【分析】该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当?

　　32?34均收敛时，原反常积分才是收敛的．

　　解由于

　　?

　　32lim?

　　aa?2?3lim?aa?2?3

　　=lim[arcsin(x?3)]3． a=a?2??2

　　?

　　4

　　3

　　=lim??

　　b?4

　　b

　　3

　　lim?3

　　b?4?

　　b

　　=lim[arcsin(x?3)]b=．

　　3

　　b?4?

　　?

　　2

　　所以?2

　　4

　　?

　　?

　　2

　　?

　　?

　　2

　　??．

　　注意：按照定义判断反常积分的收敛性或者计算反常积分的值时，实际上就是对变限积分求极限值。 p260 ，1（8）

　　二．定积分的计算

　　不定积分的计算为定积分计算的基础，大家对定积分的计算方法能够熟练掌握时，在对定积分计算时自然不会存在问题，在这里只介绍定积分的计算问题。 1.根据定义计算定积分（麻烦） 2.牛顿-莱布尼茨公式： 如果

　　b

　　F(x)

　　是连续函数

　　b

　　f(x)

　　在区间

　　[a,b]

　　上的一个原函数，则

　　?af(x)dx?F(x)a?F(b)?F(a)

　　例题（12）

　　以下计算是否正确？为什么？

　　d11

　　(arctan)dx?arctan??1dxxx

　　1

　　1

　　?1

　　?arctan1?arctan(?1)?

　　b

　　?

　　4

　　?

　　?

　　4

　　?

　　?

　　2

　　【分析】利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分?f(x)dx必须满足两个条件：其一

　　a

　　是f(x)在[a,b]上连续，另一个是F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。 由

　　d1)?dxx

　　11

　　()'??(x?0)可知积分应该是负值。事实上 21x1?x1?2x1

　　1d1dx?1

　　)dx?????? ?1??1dx?2?1x21?x1

　　1在x=0不连续，且x=0x

　　11d1不是arctan的可去间断点，从而arctan不是(arctan)在区间[-1,1]上的一xxdxx由此可见，本题中的计算是错误的。原因在于arctan

　　个原函数。正确做法是把[-1,1]分成[-1,0]和[0,1]两个小区间，然后用分段积分法进行计算：

　　0d1dd1111)dx?)dx?)???1dx??1dx?0dxxxxx101?1?0

　　???

　　2??

　　4??

　　4??

　　2???

　　2

　　（1）基本积分表：掌握推导过程

　　通过积分计算法则，把所求积分转化为积分表中的形式

　　?tanxdx??lncosx?C

　　?secxdx?ln(secx?tanx)?C

　　11x?arctan?C ?a2?x2aa?cotxdx?lnsinx?C ?cscxdx?ln(cscx?cotx)?C ?a2?x2?2alna?x?C

　　?1

　　x?a2211a?x?x?arcsin?C aa2?x2

　　221?ln(x?x2?a2)?C xa2x22?a?xdx?2a?x?2arcsina?C x22a222?x?adx?2x?a?2lnx?x?a?C.22

　　（2）积分计算法则

　　A.分项积分:积分的计算法则

　　我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和，若能求出右端几个函数的积分，则应用不定积分的基本性质

　　?f(x)dx?k?g(x)dx?k?g(x)dx 1122

　　f(x)dx就可以求出函数f(x)的不定积分?这就是分项积分法.

　　例题（13）

　　1?cosx2

　　?（1）1?cos2x；

　　（2）

　　?142x(1?x).

　　（1）【分析】利用三角函数的倍角公式：1?cos2x?2cos2x进行分项 1?cosx21?cosx21dx1???dx?1?cos2x?2cos2x2?cos2x2?解1?tanx?x?c2

　　（2）【分析】利用加减同一项进行拆项 1(1?x2)?x2dx(1?x2)?x2

　　??4dx??4??2dx解?4222x(1?x)x(1?x)xx(1?x)

　　dxdxdx11??4??2??????arctanx?c23xxx1?x3x

　　B.分段积分：积分限分界点的选取：瑕点，去绝对值

　　分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是弄清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段。

　　例题（14）

　　?

　　（1）??1(x?1)min,cosx??dx???2??22

　　?

　　（2）I??0dx(a?0,b?0)2222asinx?bcosx

　　?x2,0?x?1x（3）设函数f(x)??，并记F(x)??f(t)dt(0?x?2)，试求F(x)及0?2?x,1?x?2

　　?f(x)dx。

　　???1?（1）解由于min?,cosx?为偶函数，在[0,]上的分界点为，所以 23?2?

　　????1?1?1(x?1)min,cosxdx?xmin,cosxdx?21min,cosx??????dx?????2?2?2????????222?2?2?2

　　?

　　3?21?0?2(?dx??cosxdx)2?0

　　3

　　（2）【分析】在上面区间上按如下方式用牛顿-莱布利兹公式是错误的。即

　　ad(tanx)dx1a?I??22??tanx)?022?aasinx?bcosxabb0??00ab1?(tanx)2???b? 1a???因为arctan(tanx)在x?处无定义，它只是分别在[0,)，(,?]有定义， abb222??

　　因此不能再整个区间上对积分函数应用牛顿-莱布利兹公式，但是，可以采用分段积分的方法计算。 ?

　　2

　　解dxdxI??2??2222222asinx?bcosxasinx?bcosx?0

　　2?

　　?1aa?2?1tanx)0tanx)???abbabbab2?

　　（3）解根据牛顿莱布尼茨公式，当有 0?x?1

　　t3xx3

　　F(x)??tdt??30302x

　　当1?x?2时，

　　t31t2x7x2

　　F(x)??tdt??(2?t)dt??(2t?)???2x? 3021620121x

　　?f(x)dx?F(x)?c

　　C.换元积分：常用的变量替换总结

　　注意换元之后积分上下限发生变化

　　①第一换元积分法（凑微分法）

　　设?f(u)du?F(u)?c,且函数?(x)可导，则

　　?f??(x)???(x)dx??f??(x)?d?(x)??f(u)du?F(u)?c?F(?(x))?c ②第二换元积分法

　　利用第一换元法求积分时，需要被积函数看成f[?(x)]与?'(x)的乘积，并映入新变量u??(x)。第二换元法与此不同，需要把积分变量x看成自变量t的适当的函数?(t)，即作换元x??(t)。

　　例题（15）

　　求下列不定积分

　　（1）?secxdx；

　　（2）?dx sinx?tanx

　　解（1）

　　??secxdx?dxcosxd(sinx)???cosx?1?sin2x?1?sin2x 11111?sinx(?)d(sinx)?ln?c?21?sinx1?sinx21?sinx

　　1(1?sinx)2

　　?ln?c?lnsecx?tanx?c221?sinx

　　dxcosxdxcos2x?sin2xdx?sinx?tanx??sinx(1?cosx)??xx4sincos22（2）

　　??1?tan2x

　　(tanx)?1(1?tanx)d(tanx)?22222tantan22

　　?1x1xlntan?tan2?c2242

　　D.分部积分: 被积函数有不同函数类型

　　前面所介绍的换元积分法虽然可以解决许多积分的计算问题，但有些积分，如?xedx，?xcosxdx等，利用换元法就无法求解.接下来要介绍另一种基本积分法分x

　　部积分法.

　　设函数u?u(x)和v?v(x)具有连续导数，则移项得到udv?d(uv)?vdu所以有?udv?uv??vdu或?uv?dx?uv??u?vd

　　例题（16）

　　（1）?

　　（2）?arcsinx?arccosxdx； x2?a2dx

　　arccosx

　　?x2解（1）?arcsinx?arccosxdx?xarcsinx?arccosx??x(?arcsinx?x2)dx

　　?xarcsinx?arccosx??(arccosx?arcsinx)d?x2

　　?xarcsinx?arccosx?(arccosx?arcsinx)??x2?2x?c

　　（2）?x2?a2dx?xx2?a2??x?

　　2222xx?a22 ?xx?a??(x?a?a2

　　x?a22)dx 其中?1

　　x?a22，已在前面三角函数算法处求出，注意到等式右端也包含积分，22?x?adx ?x2?a2dx

　　?x22a2

　　x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?c2222

　　对积分计算的思路的总结：

　　首先利用定积分的几何意义和性质简化被积函数，再灵活运用积分法则。

　　（1）几何意义

　　例题2 lim 1???2n??n

　　（2）被积函数的奇偶性

　　aa??2f(x)dx,当f?x?为偶函数时f(x)dx???0

　　?当f?x?为奇函数时?0， ??a

　　例题（17）

　　课本P254 ，6题

　　（3）周期函数（三角函数）

　　?a

　　?0

　　?a?Tf(x)dx??f(x)dx. 0T（4）重要积分公式 xf(sinx)dx??f(sinx)dx, ?02?

　　2?31??n?1n?3??????,n??422In??0sinn

　　xdx??0cosnxdx??nn?2

　　?n?1?n?3???4?2,n?53?nn?2

　　（5）轮换对称性 ?2

　　例题（18）

　　计算?0aa?0．

　　解法1令x?asint，则

　　?a?0??20costdt sint?cost

　　1?(sint?cost)?(cost?sint)??2dt 20sint?cost

　　1?(sint?cost)?

　　??2[1?]dt 20sint?cost

　　?

　　1?2=． ??t?ln|sint?cost|?024

　　解法2 令x?asint，则

　　?

　　又令t?

　　?

　　2

　　?u，则有

　　a

　　=?02

　　?

　　cost

　　dt．

　　sint?cost

　　sinu2

　　du ?0．sinu?cosu

　　?

　　?

　　??02sint?costdt

　　cost

　　所以，

　　?

　　a

　　?

　　1?sintcost1??22[?dt??dt]=?2dt=． =0sint?cost20sint?cost204例题（19）（综合题）

　　设函数f(x)在(??,??)内满足f(x)?f(x??)?sinx，且f(x)?x,x?[0,?)，求

　　??

　　3?

　　f(x)dx.

　　【分析】由于题目只给出了f(x)在区间[0,?)上的具体表达式，为计算[?,3?]

　　上的积分值，应该通过换元法使其积分区间换到[0,?]上。另外，也可以通过求出f(x)在[?,3?)上的表达f(x)?f(x??)?sinx及f(x)在[0,?)上的表达式，

　　式，然后再求积分值。这里采取第一种方法，当然也可以用第二中方法计算。

　　解?

　　3?

　　?

　　f(x)dx??[f(x??)?sinx]dx??

　　?

　　3?3?

　　?

　　f(x??)dx

　　令t?x??

　　??

　　3?

　　f(x??)dx??

　　?

　　2?

　　f(t)dt??f(t)dt??

　　?2?

　　?

　　f(t)dt??tdt??[f(t??)?sint]dt

　　?2?

　　?

　　?2

　　2

　　?2??

　　2?

　　?

　　f(t??)dt

　　令u?t??

　　??3?f(x??)dx??22?2??f(u)du??2?2 0?

　　三．积分的应用

　　1.求平面图形的面积，

　　（1）直角坐标系

　　A??af(x)dx

　　A??b b[f(x)?f1(x)]dxa2

　　（2）参数坐标

　　bt?x??(t)A?ydx??a?t?(t)??(t)dt ??y??(t)2

　　1

　　（3）极坐标

　　A?1?1?222[?( )]d A?[?( )??( )]d ??21??22

　　2.求体积（旋转体，立体）

　　V??a?[f(x)]2dx

　　db

　　V??c?[?(y)]2dy

　　V??aA(x)dx

　　3.求弧长 b

　　s??a?y?2dx

　　?b

　　s????2(t)???2(t)dt

　　s???

　　?r2( )?r?2( )d

　　4.求曲率

　　5.物理应用：求静压力，引力，求功等等 例题（20）

　　求由曲线y?x，y?3x，y?2，y?1所围成的图形的面积． 1

　　2

　　【分析】若选x为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如上图所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y为积分变量．

　　解选取y为积分变量，其变化范围为y?[1,2]，则面积元素为

　　dA=|2y?11y|dy=(2y?y)dy． 33

　　于是，所求面积为

　　215A??(2y?y)dy= 132

　　例题（21）

　　抛物线y2?2x把圆x2?y2?8分成两部分，求这两部分面积之比．

　　解抛物线y2?2x与圆x2?y2?8的交点分别为(2,2)与(2,?2)，如上图所示，抛物线将圆分成两个部分A1，A2，记它们的面积分别为S1，S2，则有

　　?84y24S

　　1=?)dy=8?4?cos2 d ?=?2?，S2?8??A1=6??， ?2?333242于是

　　4?2?S13??2==． 49??2S26??3

　　例题（22）

　　求心形线??1?cos 与圆??3cos 所围公共部分的面积．

　　【分析】心形线??1?cos 与圆??3cos 的图形如上图所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．

　　解求得心形线??1?cos 与圆??3cos 的交点为(?, )=(,?)，由图形的对332?称性得心形线??1?cos 与圆??3cos 所围公共部分的面积为

　　?

　　A=2[?3

　　0?1152(1?cos )d ???2(3cos )2d ]=?． 2432

　　例题（23）

　　过坐标原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x轴围成平面图形D．

　　（1）求D的面积A；

　　（2）求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V．

　　【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A，旋转体积可用大的立体体积减去小的立体体积进行计算，如上图所示．

　　解（1）设切点横坐标为x0，则曲线y?lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是

　　y?lnx0?1(x?x0)． x0

　　由该切线过原点知lnx0?1?0，从而x0?e，所以该切线的方程是y?x．从而D的面积

　　A??(ey?ey)dy?011ee?1． 2

　　（2）切线y?x与x轴及直线x?e围成的三角形绕直线x?e旋转所得的旋转体积

　　1V1??e2 31e

　　曲线y?lnx与x轴及直线x?e围成的图形绕直线x?e旋转所得的旋转体积为

　　111V2???(e?ey)2dy??(?e2?2e?)． 022

　　因此，所求体积为

　　V?V1?V2??6(5e2?12e?3)．

　　例题（24）

　　求曲线y?lnx在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线x?2，x?6和曲线y?lnx所围成平面图形的面积最小（如下图所示）．

　　【分析】要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式． 解设所求切线与曲线y?lnx相切于点(c,lnc)，则切线方程为y?lnc?(x?c)．又切线与直线x?2，x?6和曲线y?lnx所围成的平面图形的面积为

　　614A=?[(x?c)?lnc?lnx]dx=4(?1)?4lnc?4?6ln6?2ln2． 2cc1c

　　由于

　　dA1644=?2?=?2(4?c)， cdccc

　　令dAdAdA?0，解得驻点c?4．当c?4时?0，而当c?4时?0．故当c?4时，Adcdcdc

　　取得极小值．由于驻点唯一．故当c?4时，A取得最小值．此时切线方程为：

　　y?1x?1?ln4．

　　4