2012年全国高中数学联赛试题及详细解析答案

　　2012年全国高中数学联赛

　　一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．

　　2（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向 x????????直线y?x和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PA?PB的值是

　　_____________. 1.设P是函数y?x?

　　?2，]6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x?．若对任意的x?[a,a

　　)?2f(x)不等式f(x?a恒成立，则实数a的取值范围是_____________.

　　1?1?sin?的所有正整数n的和是_____________. 4n3

　　8．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从7．满足上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是_____________.（用最简分数表示） 二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

　　n?9．（本小题满分16分）已知函数f(x)?asix1

　　2coxs?2a?31?a?,Ra?, 0a2

　　（1）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围；

　　（2）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围．

　　10．（本小题满分２０分）已知数列?an?的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有

　　33(a1?a2???an)2?a3???an 1?a2

　　（1）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;

　　（2）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012?若存在，

　　求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

　　11．（本小题满分20分）

　　如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且??6．

　　（1）求证：|OA|?|OC为定值； |

　　（2）当点A在半圆(x?2)2?y2?4（2?x?4）上运动时，求

　　点C的轨迹．

　　三、（本题满分50分）

　　设P是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0)

　　,,nP0,P1,P2?

　　?求证：P0P?P02?

　　dP0P?()n3 !

　　四、（本题满分50分） 设Sn?1?11???，n是正整数．证明：对满足0?a?b?1的任意实数a,b，数列2n

　　(a,b)．这里，[x]表示不超过实数x的最大整数． {Sn?[Sn]中有无穷多项属于}

　　2012年全国高中数学联赛一试及加试试题

　　参考答案及详细评分标准(A卷word版)

　　一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上． １． 设P是函数y?x?

　　轴作垂线，垂 2（x?0）的图像上任意一点，过点P分别向直线y?x和yx????????足分别为A,B，则PA?PB的值是 ．

　　?２． 设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足acosB?bcosA

　　则3c ，5 tanA的值是 . tanB

　　【答案】4

　　?

　　[0,，则1]M?|３．设x,y,zx|

　　是 .

　　1

　　1,【解析】不妨设0?x?y?z?

　　则My

　　x)

　　x).

　　所以Mx2 ?1.

　　1当且仅当y?x?z?,yx?0,z?1,时上式等号同时成立.

　　故Mmax?1. 2

　　F，准线为ｌ，A,B是抛物线上的两个动点，且满足4.抛物线y?2px(p?0的焦点为)2

　　?AFB??|MN|．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，则的最大值3|AB|

　　是 . 【答案】1

　　AF?B. 2

　　?2222?BcFo 在?AFB中,由余弦定理得A?A?BF?3

　　AF?BF2)?(AB)2?A??F(AF?BF)2?3(2

　　A?B22?()?MN. 2

　　MN当且仅当A?B时等号成立.故的最大值为1. AB【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得MN?

　　5．设同底的两个正三棱锥P?ABC和Q?ABC内接于同一个球．若正三棱锥P?ABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q?ABC的侧面与底面所成角的正切值是 ．

　　?

　　?2，]6. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x．若对任意的x?[a,a

　　)?2f(x)不等式f(x?a恒成立，则实数a的取值范围是 ．

　　【答案】??

　　,).?

　　７．满足1?1?sin?的所有正整数n的和是． 4n3 【答案】33

　　【解析】由正弦函数的凸性,有当x?(0?

　　6),时3

　　?x?sinx?x由此得,

　　??1?3?1si??,s ,1313412?124

　　??1?3?1si??,s所以.101039?93

　　?1???1?sin??sin?sin?sin??sin. 13412111039

　　1?133. 故满足?sin?的正整数n的所有值分别为10,11,1它们的和为24n3

　　８．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）

　　二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

　　n?９．（本小题满分１６分）已知函数f(x)?asix1

　　2coxs?2a?31?a?,Ra?, 0a2

　　（１）若对任意x?R，都有f(x)?0，求a的取值范围；

　　（２）若a?2，且存在x?R，使得f(x)?0，求a的取值范围．

　　１０．（本小题满分２０分）已知数列?an?的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有

　　33(a1?a2???an)2?a3???an 1?a2

　　（１）当n?3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;

　　（２）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013??2012?若存在，

　　求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

　　１１．（本小题满分２０分）

　　如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且??6．

　　|（１）求证：|OA|?|OC为定值；

　　（２）当点A在半圆(x?2)2?y2?4（2?x?4）上运动时，求

　　点C

　　的轨迹． 【解析】因为OB?OD,AB?AD?BC?CD,所以O,A,C三点共线 如图,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K,于是有

　　??(22)22 A)K2222?OK?AK?(O?B)?BK)?OB?AB?62?42?20 (定值)

　　2(2)设C(x,y),A(?22c?os,?2s其中in???XMA(?2?2????2)则,?XOC??2. ?s?)因为OA?(2?2co

　　?

　　2(2?si2n?)?8(1??cos)21所以6cOAs?,4co 22??,x?Oco?5.由(1)的结论得OCco?5所以从而2?

　　y?OCsi?5t??[5 ,5].22

　　),(?5, 5故点C的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别为A(5,5B??

　　2012年全国高中数学联赛加试试题（

　　A卷） 一、（本题满分４０分）

　　如图，在锐角?ABC中，AB?AC,M,N是BC边上不同的两点，使得?BAM??CA.N设?ABC和?AMN的外心分别为O1,O2，求证：O1,O2,A三点共线。

　　证法一:令b?mx,b?1?2k?1消去 y,b得2k?1y?mx?1.

　　k?1?x?x?2t?0k?1由于(2,这方程必有整数解;?其中t?z,(x0,y0)为方程的特解. m)?1,y?y?mt?0?

　　?把最小的正整数解记为(x?,y?)则,x??2k?1,故b?mx?2a?1,使b(b?1)是2a的倍

　　数．……40分

　　证法二:由于(2k?1由中国剩余定理知,同余方程组 ,m)?1,

　　1?x?0(modk?2)k?1x?b,即存在b?2a?1,在区间(0,2m上有解使b(b?1)是2a的倍)?m)?x?m?1(mod

　　数．…………40分

　　?,?)1,证法三:由于(2m总存在r(r?N,r?m?1)使,2r?1(momd取)t?N?,使

　　tr?k?1,则2tr?1(momd )

　　tr?k1存在b?(2?1)?q?(2m)使0 ?0q,?N,?b?2a?1,

　　此时mb,2

　　k?1因而b(b?1)是2a的倍数．……………40分 m?1,

　　三、（本题满分５０分）

　　设P是平面上n?1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d?0)

　　,,nP0,P1,P2?

　　?

　　求证：P0P?P02?dP0P?()n3 !

　　四、（本题满分５０分） 设Sn?1?11???，ｎ是正整数．证明：对满足0?a?b?1的任意实数a,b，数列2n

　　(a,b)．这里，[x]表示不超过实数ｘ的最大整数． {Sn?[Sn]中有无穷多项属于}

　　?【解析】证法一:(1)对任意n?N,有

　　11111111????n?1??(1?2)?(n?1???n )23222?122?12111111111?1??(2?2)???(n???n)?1????

　　??n 222222222S2n?1?证法二:(1) S2n?1?111??n 232

　　1111?1??1?2)?n?1???22?122?1

　　1111?1???n 2222111111?)1??(?)???(???) n2222222n2n