各类刚体转动惯量公式的推导

文档中采用微积分的思想来推导常见刚体的转动惯量公式。

各类刚体的转动惯量的证明

1.转轴通过圆环中心与环面垂直的转动惯量J?

mR.2

在圆环上取一质元，其质量为dm??dl，dl为圆弧元，?为线密度（??

22m）。该2?R质元对中心垂直轴Z的元转动惯量dJ?Rdm??Rdl，圆环对该轴的转动惯量为

J??dJ??2?R

0?R2dl?2??R3?mR2

mR2

2.转轴沿圆环直径的转动惯量J?

.2

在圆环上靠近转轴的一处取一质元dm，其弧长为dl，质元与圆心的连线和转轴Z的夹角（微夹角）为d 圆环的线密度??m，其中dl?Rd ，2?R

dm??dl?mmRd ?d .2?R2?

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文档中采用微积分的思想来推导常见刚体的转动惯量公式。

该质元的转动惯量为

mmR22dJ?Rdm?(Rsin )d ?sin d 2?2?22

mR21?cos2 mR2mR2

?(d ?(?cos2 )d 2?24?4?

则圆环对该转轴的转动惯量为

2?

J??dJ??2?

0?mRmR?mRmRmR2(?cos2 )d ???sin2 ??4?4?4?8?2??02222

mR2

3.转轴通过薄圆盘中心与圆盘垂直的转动惯量J?

.2

在圆盘上取一半径为r，宽度为dr的细圆环，圆盘的质量面密度为??的元面积为dS?2?rdr，圆环的质量为dm??dS?2?r?dr.

该圆环对转轴的转动惯量为dJ?rdm?2??rdr

则整个圆盘的转动惯量为23m，该圆环?R2

J??dJ??R

011mR23442??rdr???r???R?2220

m22(R?r).2R4.转轴沿圆筒几何轴的转动惯量J?

2

文档中采用微积分的思想来推导常见刚体的转动惯量公式。

在圆筒上取一微截圆筒，其质量为dm，再在该微截圆筒上取一宽度为dr，半径为r的元圆筒，记取得的元圆筒质量为dM（由于微截圆筒和元圆筒的厚度非常微小，可将微截圆筒和元圆筒看成质量为dm和dM的圆环）.圆环的面密度??

元圆筒的面积dS?2?rdr

元圆筒的质量dM??dS?2??rdr

元圆筒对Z轴的转动惯量为dm.?(R2?r2)

dJ??(2??rdr)r??2??r3drrrR2R

111???r4???(R4?r4)???(R2?r2)(R2?r2)222r

122(R2?r2)22?(R?r)??(R?r)?dm22

则整个圆筒的转动惯量为R

J??dJ??m

0R2?r2m?(R2?r2).22

mR2

5.转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量J?

.2

在圆柱体上取一微圆柱体，其质量为dm，由于该微圆柱体厚度极小，可将该微圆柱体看成一圆盘。在圆盘上取一宽度为dr，半径为r的圆环，记该圆环的质量为dM。圆盘的面密度为??dm.?R2

圆环的面积为dS?2?rdr，质量dM??dS?2??rdr

圆环的转动惯量dJ0?rdM?2??rdr23

3

文档中采用微积分的思想来推导常见刚体的转动惯量公式。

圆盘的转动惯量为

dJ??dJ0??dJ0??0RR01??R4R2342??rdr???r??dm2220R

则整个圆柱体的转动惯量为

J??dJ??m

0R2mR2.dm?22

mr2mL2

6.转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量J?

.?412

在圆柱体上取一厚度为dy的微圆柱体，再在该微圆柱体上切一宽度为dx的微细长方体，如上图。该微细长方体一端的坐标为(x,z)，设该点与圆心的连线同x轴的夹角为 ，圆柱体的半径为r，则有x?rcos ,z?rsin 。圆柱体的密度为??m

?r2L

细微长方体的体积为dV?2zdxdy，质量为dm??dV?2?zdxdy，到转轴Z的距离为Rg?x2?y2

则细长方体的转动惯量为dJ0?Rgdm?(x?y)?dV?2?z(x?y)dxdy

则整个细微圆柱体的转动惯量为dJ?J0?dJ0?

将x?rcos ,z?rsin 代入上式得dJ?22222?r?r?r2?z(x2?y2)dxdy??r2?rsin (r2cos2 ?y2)dxdy

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文档中采用微积分的思想来推导常见刚体的转动惯量公式。

?2?rdy?sin (y2?r2cos2 )d(rcos )?rr

??2?rdy?sin2 (y2?r2cos2 )d ?20

由二倍角公式得sin

则2 ?

01?cos2 cos2 ?1cos4 ?1,cos2 ?,cos22 ?222dJ??2?rdy?sin2 (y2?r2cos2 )d ?2

1?cos2 22cos2 ?1(y?r)d ?22

2204y?ry2r22??2?rdy?(?cos2 ?cos4 )d ?828??2?rdy?20

?4y2?r2?y2r22??2?rdy??sin2 ?sin4 ?432?8??

?(??ry?220??r4

4)dy

则整个圆柱体的转动惯量为

J??dJ??(??ry?

???ry??ry????4??3??L

2234L2L2L?222??r44)dy

??124

mr2mL2

??412??r2L3??r4L

ml2

7.转轴通过细棒中心与棒垂直的转动惯量J?

.12

在棒上取一质元，质元的长度为dx，距转轴Z的距离为x，设细棒的线密度为?，则

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