大学高数复习资料

本科生大学高等数学第六版知识总结,可用于研究生复习资料。

一. 函数的概念

1．用变上、下限积分表示的函数

（1）y= （2）y=连续， 则

公式1．lim

sinx

=1

x→0x

n

u

∫

x

f(t)dt，其中f(t)连续，则

x

1

2

dy

=f(x) dx

∫ ()f(t)dt，其中 (x)， (x)可导，f(t)

1

2(x)

1 1

公式2．lim 1+ =e；lim 1+ =e；

n→∞u→∞

n u

lim(1+v)=e

v→0

1v

dy

′(x) f[ 1(x)] 1′(x) =f[ 2(x)] 2

dx

2．两个无穷小的比较

4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）

f(x) 设limf(x)=0，limg(x)=0，且lim=l gx （1）l=0，称f(x)是比g(x)高阶的无穷小，记以

x2xn

当x→0时，e=1+x++Λ++0xn

2!n!

x

()(

f(x)=0[g(x)]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷

小。

（2）l≠0，称f(x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l=1，称f(x)与g(x)是等价无穷小，记以

x3x5x2n+1n

sinx=x ++Λ+( 1)+0x2n+1

2n+1!3!5!

)

2n

x2x4nx

cosx=1 + Λ+( 1)+0x2n

2n!2!4!

()

n

x2x3n+1x

ln(1+x)=x + Λ+( 1)+0xn

23n

()(

f(x)~g(x)

3．常见的等价无穷小

当x→0时

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x

2n+1

x3x5n+1x

arctanx=x + Λ+( 1)+0x2n+1

352n+1

)

(1+x) α=1+αx+α(α 1)x2+Λ+α(α 1)Λ[α (n 1)]xn+0(xn)

2!

n!

6．洛必达法则 法则1．（

1 cosx~

12

x，ex 1~x，ln(1+x)~x，2

(1+x) α

1~αx

型）设（1）limf(x)=0，limg(x)=0 0

二．求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2．两个准则

准则1．单调有界数列极限一定存在

（1）若xn+1≤xn（n为正整数）又xn≥m（n为正整数），则limxn=A存在，且A≥m

n→∞

（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在

f′(x)=A（或∞） （3）lim

g′x 则lim

f(x)=A（或∞） gxf′(x)不存在且不是无穷大量情形，则g′x （2）若xn+1≥xn（n为正整数）又xn≤M（n为正整数），则limxn=A存在，且A≤M

n→∞

（注：如果lim

准则2．（夹逼定理）设g(x)≤f(x)≤h(x) 若limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)=A 3．两个重要公式

不能得出lim

f(x)不存在且不是无穷大量情形）

gx 法则2．（

∞

型）设（1）limf(x)=∞，limg(x)=∞ ∞

（2）x变化过程中，f′(x)，g′(x)皆存在

本科生大学高等数学第六版知识总结,可用于研究生复习资料。

f′(x) （3）lim=A（或∞） g′x 则lim

值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f(x)≤M，则称M为函数f(x)在[a,b]上的最大值。同样可以定义最小值m。

定理3．（介值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上则对于介于m连续，且其最大值和最小值分别为M和m，和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ，使得

f(x)=A（或∞）

gx 7．利用导数定义求极限

f(x0+ x) f(x0)

=f′(x0) [如果 基本公式：lim

x→0 x

存在]

8．利用定积分定义求极限

f(ξ)=c

推论：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在(a,b)内至少存在一个点ξ，使得

1n k 1

基本公式 lim∑f =∫f(x)dx [如果存在]

0n→∞nk=1 n

三．函数的间断点的分类

函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点

设x0是函数y=f(x)的间断点。如果f(x)在间断点

f(ξ)=0

这个推论也称为零点定理 五．导数与微分计算 1．导数与微分表

x0处的左、右极限都存在，则称x0是f(x)的第一类间断

点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

四．闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。

定理1．（有界定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)必在[a,b]上有界。

定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。

其中最大值M和最小值m的定义如下：

定义 设f(x0)=M是区间[a,b]上某点x0处的函数

(c)′=0 d(c)=0

(x)′=α x

α

α 1

（α实常数）dx

()=α x

α

α 1

dx（α实常数）

(sinx)′=cosx dsinx=cosxdx (cosx)′= sinx dcosx= sinxdx (tanx)′=sec2x dtanx=sec2xdx (cotx)′= csc2x dcotx= csc2xdx (secx)′=secxtanx dsecx=secxtanxdx (cscx)′= cscxcotx dcscx= cscxcotxdx

1

(a>0,a≠1) xlnadx

(a>0,a≠1) dlogax=

xlna

(lnx)′=1 dlnx=1dx

xx

(ax)′=axlna(a>0,a≠1)

(logax)′=

dax=axlnadx(a>0,a≠1)

本科生大学高等数学第六版知识总结,可用于研究生复习资料。

(e)′=e

x

x

de=edx

xx

ψ′(t)存在，且 ′(t)≠0，则

1 x2

1 x

2

(arcsinx)′=(arccosx)

′

1 x2

1 x

darcsinx=dx

dyψ′(t)= ( ′(t)≠0)

′dx t二阶导数

=

2

darccosx= dx

11

arctan= dxdx

1+x21+x2

(arccotx)′= 12 darccotx= 12dx

1+x1+x

(arctanx)′=

dy

d dx d2y ==

dxdx2

dy

d dx 1=ψ′′(t) ′(t) ψ′(t) ′′(t)

dxdt ′t3dt

[ln(x+

(

x+a

22

)]=

′

1x+a

1x2+a2

2

2

5．反函数求导法则

设y=f(x)的反函数x=g(y)，两者皆可导，且

dlnx+x2+a2=

)

dx

f′(x)≠0

则 g′(y)=

[ln(x+

(

x a

22

)]=

′

1x a

1x a

2

2

2

2

11

(f′(x)≠0) =

f′xf′gydlnx+x2 a2=

2．四则运算法则

)

dx

1 d

f′x d[g′(y)] 1 = 二阶导数g′′(y)=

dydydx

dx

[f(x)±g(x)]=f′(x)±g′(x) [f(x) g(x)]=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

′

′

=

f′′(x)f′′[g(y)] (f′(x)≠0) = 33f′xf′gy′

f(x) f′(x)g(x) f(x)g′(x)= (g(x)≠0) 2

gx gx

3．复合函数运算法则

设y=f(u)，u= (x)，如果 (x)在x处可导，f(u)在对应点u处可导，则复合函数y=f[ (x)]在x处可导，且有

6．隐函数运算法则

设y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定，求y′的方法如下：

把F(x,y)=0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y′的表达式（允

dydydu

==f′[ (x)] ′(x) dxdudx

许出现y变量）

7．对数求导法则

先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y′。

对数求导法主要用于： ①幂指函数求导数

②多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数y=[f(x)]

g(x)

对应地dy=f′(u)du=f′[ (x)] ′(x)dx

由于公式dy=f′(u)du不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。

4．由参数方程确定函数的运算法则

设x= (t)，y=ψ(t)确定函数y=y(x)，其中 ′(t)，

常用的一种方法

本科生大学高等数学第六版知识总结,可用于研究生复习资料。

y=eg(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。

8．可微与可导的关系

f(x)在x0处可微 f(x)在x0处可导。

9．求n阶导数（n≥2，正整数） 先求出y′,y′′,Λ,总结出规律性，然后写出y用归纳法证明。

有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1）y=e y

x

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； 则存在ξ∈(a,b)，使得

(n)

，最后

f(b) f(a)=f′(ξ) b a

或写成f(b) f(a)=f′(ξ)(b a) (a<ξ<b) 有时也写成f(x0+ x) f(x0)=f′(x0+θ x) x

(n)

=ex

（2）y=ax(a>0,a≠1) y(n)

=ax(lna)n

（3）y=sinx y

(n)

=sin

nπ x+2

（4）y=cosx y

(n)

=cos

x+nπ 2 (5) y=lnx y

(n)

=( 1)n 1

(n 1)!x n 两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式

[n

u(x)v(x)]

(n)

=∑Cku(k)

n k)n(x)v((x) k=0

其中 Ck

n!n=

k!n k!

， u(0)

(x)=u(x)，v(0)(x)=v(x)

假设u(x)和v(x)都是n阶可导。 微分中值定理 一．罗尔定理 设函数f(x)满足

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)

则存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0 二．拉格朗日中值定理 设函数f(x)满足

(0<θ<1)

这里x0相当a或b都可以， x可正可负。

推论1．若f(x)在(a,b)内可导，且f′(x)≡0，则f(x)在(a,b)内为常数。

推论2．若f(x)，g(x)在(a,b)内皆可导，且

f′(x)≡g′(x)，则在(a,b)内f(x)=g(x)+c，其中c为

一个常数。

三．柯西中值定理（数学四不要） 设函数f(x)和g(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上皆连续；

（2）在开区间(a,b)内皆可导；且g′(x)≠0 则存在ξ∈(a,b)使得

f(b) f(a)gb ga=f′(ξ)g′ξ (a<ξ<b) （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）

四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）

定理1．（皮亚诺余项的n阶泰勒公式） 设f(x)在x0处有n阶导数，则有公式

f(x)=f(xf′(x0)f′′(x0)2f(n)(x0)n0)+!(x x0)+2!(x x0)+Λ+n!

(x x0)+Rn(x)

1

本科生大学高等数学第六版知识总结,可用于研究生复习资料。

(x→x0)

其中Rn(x)=0(x x0) (x→x0)称为皮亚诺

n

的一个极小值，称x0为函数f(x)的一个极小值点。

[]

余项。

Rn(x) lim x→x0x xn=0

0

前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不

同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如

函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。

2．必要条件（可导情形）

设函数f(x)在x0处可导，且x0为f(x)的一个极值点，则f′(x0)=0。

我们称x满足f′(x0)=0的x0为f(x)的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。

极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。

3．第一充分条件

设f(x)在x0处连续，在0<x x0<δ内可导，

ex,sinx,cosx,ln(1+x)和(1+x)（α为实常数）等的n

α

阶泰勒公式都要熟记。

定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）

设f(x)在包含x0的区间(a,b)内有n+1阶导数，在

[a,b]上有n阶连续导数，则对x∈[a,b]，有公式

f(x)=f(x)+f′(x0)(x x)+f′′(x0)(x x)2+Λ+

000

1!

2!

f(n)(x0)(x x0)n+Rn(x)

n!

f(n+1)(ξ)(x x0)n+1，（ξ在x0与x之 其中Rn(x)=

n+1!

间）

称为拉格朗日余项。

上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。当

f′(x0)不存在，或f′(x0)=0。

1° 如果在(x0 δ,x0)内的任一点x处，有

f′(x)>0，而在(x0,x0+δ)内的任一点x处，有f′(x)<0，则f(x0)为极大值，x0为极大值点；

2° 如果在(x0 δ,x0)内的任一点x处，有

x0=0时，也称为n阶麦克劳林公式。

如果limRn(x)=0，那么泰勒公式就转化为泰勒级

n→∞

数，这在后面无穷级数中再讨论。 导数的应用：

一．基本知识 1．定义

设函数f(x)在(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的某一点，则

如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点

f′(x)<0，而在(x0,x0+δ)内的任一点x处，有f′(x)>0，则f(x0)为极小值，x0为极小值点；

3° 如果在(x0 δ,x0)内与(x0,x0+δ)内的任一点x处，f′(x)的符号相同，那么f(x0)不是极值，x0不是

极值点。

4．第二充分条件

设函数f(x)在x0处有二阶导数，且f′(x0)=0，

x(x≠x0)，总有f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)

的一个极大值，称x0为函数f(x)的一个极大值点； 如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点

f′′(x0)≠0，则

当f′′(x0)<0时，f(x0)为极大值，x0为极大值点。 当f′′(x0)>0时，f(x0)为极小值，x0为极小值点。

x(x≠x0)，总有f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)