第一章 误差理论与数据处理Word

　　实验报告内容包括：(p 3) (1)实验名称：表示做什么实验。 (2)实验目的：说明为什么做这个实验，做该实验 达到什么目的。 (3)实验仪器：列出主要仪器的名称、型号、规格、 精度等。 (4)实验原理：阐明实验的理论依据，写出待测量 计算公式的简要推导过程，画出有关的图(原理图 or装臵图)。 (5)实验步逐：写清主要步逐，以及测量哪些物理 量等。

　　(6)数据记录：实验中所测得的原始数据要尽可能 用表格的形式列出，正确表示有效位数和单位。 (7)数据处理：根据实验目的对测量结果进行计算 或作图表示，并对测量结果进行评定，计算不确定度， 计算要写出主要计算内容。 (8)问题讨论：讨论实验中观察到的异常现象及其 可能的解释，分析实验误差的主要来源，对实验仪器 的选择和实验方法的改进提出建议，简述自己做实验 的心得体会，回答实验思考题。

　　实验报告必须在做完实验一周之内完成，按 时交报告。实验报告是学生实验成绩考核的主 要依据，学生必须认真进行实验总结，撰写合 格的实验报告，努力提高科学实验的表达能力。三、实验室规则 穿鞋套，收拾场地及仪器设备，打扫教室。 详见实验室墙上守则。(本学期所开实验项目及第一次实验预习内容)

　　这一章按教学大纲安排了2个课时，有些内容须 由同学们自学。 本章介绍测量误差估计、实验数据处理和实验结果 的表示等内容。所介绍的都是初步知识，这些知识不 仅在每一个物理实验中都要用到，而且是今后从事科 学实验必须了解和掌握的。这部分内容牵涉面较广内 容多，不可能在一两次学习中掌握，所要求同学们的 是，能够对提到的问题有一个初步的了解，然后结合 每一个具体实验再细读有关的段落，通过运用加以掌 握。应当说明的是：对这些内容的深入讨论是普通计 量学以及数理统计学的任务，实验教材只引用了其中 的某些结论和计算公式，不进行论证。同学们如有兴 趣，可去借阅有关书籍进一步学习。

　　第一节 测量与误差

　　测量及其分类 一、测量 物理实验是以测量为基础的。研究物理现象，了解 物质特性、验证物理原理都要进行测量。 一个物理量的完整测量结果包括该物理量的数值、 结果的可信赖程度(用不确定度表示)以及单位三个

　　要素。 二、测量的分类 按测量手段：直接测量和间接测量； 按测量次数：单次测量和多次测量； 按测量条件：等精度测量和不等精度测量。

　　1 .直接测量和间接测量 “直接测量”就是把待测量与标准量(比如量具)直接比较 得出结果。例如用米尺测物体的长度，用天平和砝码测物体的 质量，用电流计测线路中的电流，都是直接测量。“间接测量” 指利用直接测量的量与被测的量之间已知的函数关系，从而得 到该被测量的量。例如钢球的直径D由直接测量测出，然后由 公式间接得到体积V。 2.单次测量和多次测量 3.等精度测量和不等精度测量 等精度测量是指在同等实验条件下对某一物理量进行的多次 测量. 不等精度测量是指在不同实验条件下对某一物理量进行的多 次重复测量. 在物理实验中,凡是要求对物理量进行多次重复测量的均指等 精度测量.

　　误差及其分类实践证明，测量结果都存在有误差，误差自始至 终存在于一切科学实验和测量的过程之中。因为任 何测量仪器、测量方法、测量环境、测量者的观察 力等等都不能做到绝对严密，这些就使测量不可避 免地伴随有误差产生。因此分析测量中可能产生的 各种误差，尽可能消除其影响，并对测量结果中未 能消除的误差作出估计，就是物理实验和许多科学 实验中必不可少的工作。因此，我们必须了解误差 的概念、特性、产生的原因和估计方法等有关知识。

　　一、真值与误差 测量误差就是测量值(结果)与被测的客观存在的 真值之间的差值，简称误差。误差的大小反映了测量 结果的准确程度。误差可以用绝对误差表示，也可以 用相对误差表示。绝对误差=测量结果(值)- 被测量的真值

　　用公式表示绝对误差：

　　x x x0

　　相对误差(绝对误差与真值之比的百分数):E 测量的绝对误差 x 100% 被测量的真值x0

　　被测量的真值是一个理想概念，一般说来实验 者对真值是不知道的。在实际测量中常用被测量的 实际值或已修正过的算术平均值来代替真值，我们 也可把它称为最佳近似值，简称最佳值(或近真 值)。 二、误差的分类 测量中的误差主要分为两种类型，即系统误差和 随机误差。它们的性质不同，需分别处理。

　　1.系统误差：是指在一定条件下多次测量结 果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规 律变化，系统误差的特征是它的规律的确定性。 例如用停表测运动物体通过某段路程所需的时间， 若停表走得较快，那么即使测量多次，测量的时 间t总会偏大，且总是偏大一个固定的量，这就是 由于仪器不准确即系统误差造成的。(在同一被测量的多次测量

　　过程中，保持定值或以可 预知方式变化的测量误差的分量。)

　　系统误差的来源有以下几个方面：(p6) (1)仪器误差. (2)理论误差. (3)环境误差. (4)观测误差. 系统误差的原因可以知道，也可以不知道。测量或 实验中存在的系统误差，要尽可能加以修正，并计入 测量或实验结果中。 修正值，即用代数方法加于未经修正的测量结果的 一个值，用来补偿系统误差。

　　修正值和系统误差符号相反，绝对值相等。比 如游卡尺、公平称。 例: 假如公平称指针右偏+0.1,顾客称1Kg水果,实 际所得结果应是 1-0.1=0.9 Kg(其中 +0.1为系统误差, -0.1为修正值)

　　2.随机误差：在同一被测量的多次测量过程中 以不可预知的方式变化的测量误差的分量。 这种误差是实验中各种因素的微小变动性引起的。 例如实验装臵和测量机构在多次调整操作上的变动 性，测量仪器指示数值的变动性,以及观测者本人在 判断和估计读数上的变动性，周围环境的干扰以及 随着测量而来的其他不可预测的随机因素的影响造 成的。随机误差是不可修正的。当测量次数很多， 随机误差就显示出明显的统计规律性。大多数情况 下, 随机误差服从正态分布(或称高斯分布)规律的。 标准化的正态分布曲线如下图( p7):

　　X 表示测量值，f(X)表示 X 的概率密度函数。

　　从曲线可以看出测量值在x0处的概率密度最大。 由图示，服从正态分布的随机误差具有下列特点： 单峰性：绝对值小的随机误差(离 近)x 出现的概率比 0 绝对值大的随机误差出现的概率要大; 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相同。 有界性：离真值越远,绝对值很大的随机误差出现的 概率趋于零,误差的绝对值不超过一定的界限;抵偿性：随机误差的算术平均值随着测量次数的 n 增加而趋于零，即 ( xi x0 ) i 1 0 lim n n n xi i 1 x0 lim n 并可推导(见后面)出： n

　　因此增加测量次数，可以减小随机误差，但不能完 全消除。 对测量中的随机误差如何处理呢？我们用描述高斯 分布的参数σ来估算随机误差。 标准误差(统计学名词) б=2 x x i 0 (n→∞) i 1 n

　　n

　　表示任一次测量值的随机误差在 –σ~+σ间的概率 为 68.3%。用这一标准误差表示测量的随机误差，它 可以表示这一列测量值的精密度，标准误差小就表 示测量值很密集，即测量的精密度高，反之，测量 值分散，测量的精密度低。

　　在实际测量中，测量次数总是有限的，而且 一般说来实验者对真值是不知道的，因此标准误 差只具有理论价值，对它的实际处理只能使用如 下方法进行估算。 在实际测量中常用被测量的

　　实际值或已修正过的 算术平均值来代替真值，下面请看近真值是如何 推算出来的：

　　设某物理量的真值为X,进行n次测量，测得的 值分别为X1、X2……Xn得到误差分别为：△X1= X1-X … △X n= X n-X 求和 ：

　　X Xi 1 i i 1

　　n

　　n

　　i

　　nX

　　Xi Xi 1

　　n

　　n

　　n

　　i 1

　　i

　　n

　　X

　　当测量次数n→∞,因误差△X有正负值之分，测 得次数多，正负抵消，使得左项趋→0,此时测量 值的算术平均值 是 X 的最佳估计值。 Xn i 1 i

　　n

　　在等精度多次测量的情况下，如果测量次数n不太 小，仍可用测量值的算术平均值 Xn

　　X

　　i 1

　　i

　　n

　　作为真值的最佳近似值,简称最佳值(或近真值)。

　　学理论推导平均值的实验标准偏差б为 2 ( x x ) i i 1 n

　　应比每一个测量值 更接近于真值，由统计 xi

　　x

　　n(n 1)

　　上式结果表示某列测量值其平均值的随机误差在 (–σ~+σ)间的概率为68.3%。

　　3.过失误差(又称粗大误差):由于测量者过失， 用错仪器，操作不当，读错刻度，记错数据等引起的 误差，不属于测量误差，是一种测量错误，这种数据 应剔除。 测量的精密度、正确度和精确度 精密度是指重复测量所得结果相互接近的程度，是 表示测量结果中，随机误差大小的程度； 正确度是表示测量结果中系统误差大小的程度； 精确度表示测量结果与被测量的“真值”之间的一 致程度。[定义仪器的精度是其分辨能力的标志，通常可以用仪器的最小分度来表示。 仪器的精度可能超过其准确度，温度计的精度可达0.2℃,但其准确度是 1℃:米尺的准确度是1 mm ,精度为0.5 mm。(精度包含了估计值)]