周金艮毕业论文

浅谈凸函数以及一类内积表达函数的凸性

作者：周金艮 指导教师：许娟

摘要 凸函数是一类重要的函数， 它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已

成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制等学科的理论基础和有力工具. 本文首先给出了凸函数的定义及其性质，研究了凸函数的等价定义及常用的一些判别方法，探讨了凸函数在证明不等式当中的应用. 另外，本文还重点研究了用内积表达的一类函数， 并分析了它们的凸性.

关键词 凸函数 不等式 内积 凸性

1 引言

凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域，函数凸性是数学分析中的一个重要概念，它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式诸方面都有广泛的应用. 凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的.

本世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用. 现行高等数学教材中，也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文就以凸函数几种定义的等价性给以证明，并给出简单的应用，应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式和凸函数在证明一般不等式中的应用；另外，本文还研究用内积表达的某些函数，分析它们的凸性.

2 凸函数的概念及其等价性定义初探 2.1 基本概念

2

大家都熟悉函数f(x) x的图像，它的特点是：曲线y x上任意两点间的弧总在这两

2

点连线的下方.我们可以下这样一个定义：设f(x)在[a,b]上有定义，若曲线y f(x)上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数f(x)是凸函数.

上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.

在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个等价定义：

设 a,b R为实数轴上的开区间 a b ，函数f: a,b R 定义1 x,y a,b ，都有不等式

f

x y f x f y (1) 22

成立，则称f x 为 a,b 内的凸函数.

定义2 x,y a,b , 0,1 ，都有不等式

[1]

f x 1 y f x 1 f y (2)

成立，则称f x 为 a,b 内的凸函数.

2.2 主要结论

不同定义下的凸函数是互不相同的2个概念，但它们之间有着内在的联系．这2个定义都是通过解析性给凸函数下定义，定义1是由詹森 Jensen 1905年给出的，它的几何意义是函数曲线f x 上任意2点间弦的中点始终位于2点间弧的中点之上．定义2的几何意义是函数曲线f x 上任意2点间的弦始终位于2点间弧的上方．定义1只要求f x 在 a,b 内有意义，它未必是连续函数，甚至是Lebesgue不可测函数；定义2蕴含f x 在 a,b 内连续 ．换言之，若函数是定义1下的凸函数则它必定是定义2下的凸函数，但反之却不成立．由此可

见定义1要与定义2等价必须有一些条件限制．

结论1

[3]

当f x 在 a,b 内连续时，定义1与定义2等价.

证明 定义2 定义1，显然，令 定义1 定义2：

1

即可. 2

x,y a,b 及有理数 0,1 用二进制表示 为：

0.a1a2 an=

i 1

n

ai

,ai 1或0,1 i n 1,an 1. i2

n

于是1- 0.b1b2

bn

i 1

0当ai 1bi

其中： 1 i n 1,bn 1. b 1 a , iii2 1当ai 0

从而f aix biy aif x bif y 1 i n 1 （3）

重复使用（1）式得：

n

naibi a1x b1y i 1x i 1y n

bi naii 22 i 22

f x 1 y f ix iy f

2i 12 i 12

n

bi 11 nai

f a1x b1y f i 1x i y 122 i 22i 22

n

bi 111 nai

f a1x b1y 2f a2x b2y 2f i 1x i y 1222 i 322i 3

n

i 1

1

f aix biy i2

利用（3）式得：

n

aib

f x 1 y if x iif y f x 1 f y

i 12i 12

n

为有理数的情况获证.若 0,1 为无理数，则存在有理数 n 0,1 n 1,2, 使得

n n ,由于f x 在 a,b 内连续，

故f x 1 y f lim nx 1 n y limf nx 1 n y （4）

n n

对于有理数 n 0,1 ，前面已经证明：f nx 1 n y nf x 1 n f y 对上式两边同时令n 取极限后代入（4）式得：

f x 1 y f x 1 f y 即（1）式对任意无理数 0,1 也成立.

这就证明了对任意 0,1 ，由定义1可以推出定义2. 故当f x 在 a,b 内连续时，定义1与定义2等价.

事实上，定义1与定义2等价的条件还可以进一步降低：

结论2 设f x 在区间 a,b 的任一闭子区间上有界，则定义1与定义2等价. 证明 定义1 定义2：

假若（2）式不成立，则 x,y a,b 及 0,1 使 f x 1 y f x 1 f y 即

f x 1 y f x 1 f y 0,

不妨设0

12

因为若

11，则 2 成立；若 1，令 1 ,x y,y x代22

入上式仍可保证0

作辅助函数：

12

，

F t f t f x

f y f x t x y x

显然F t 与f x 在 , a,b 有界，且F x F y 0,F x 1 y 0 又 x ,y a,b ,有： F

f y f x x y x y x y

x f f x

y x 2 2 2

f x f y f y f x x xy x F x F y fx

2y x 22 2

由此可知F t 还满足 1 式，于是可得：

2 x 1 2 y y 2F x 1 y 2 2F

2

F 2 x 1 2 y F y F 2 x 1 2 y

令 2 ，显然0 1，则F x 1 y 2 0 （5）这是若0

1

,则可重复上述步骤得： 2

2

F x 1 y 2

若 步骤

0,其中 2 ，0 1 (6)

11

，则令 1 1,x y,y x,代入 5 式，由于0 1 仍可重复上述22

n

得到 6 式.因此存在 ， ， ， , 使得：

F n x 1 n y 2n 0 由于n可以无限增大，这就与F t 有界矛盾，

故 2 式成立.

定义2 定义1：令

1

即可.事实上，由于在定义2下的函数f x 在区间 a,b 内是2

连续的，因此在闭子区间 ， a,b 也是连续的，因而是有界的.

3 凸函数的性质及其判定定理

[5]

定理1 设f(x)在区间I上有定义,则以下条件等价（其中各不等式要求对任意,

x1,x2,x3 I,x1 x2 x3 保持成立）：

（i）f(x)在I上为凸函数 （1）

（iif(x2) f(x1) f(x3) f(x1)

（2）

x2 x1x3 x1

(iii)

f(x3) f(x1)f(x3) f(x2)

（3）

x3 x1x3 x2f(x2) f(x1) f(x3) f(x2)

（4）

x2 x1x3 x2

[1]

(iv)

推论1 若f(x)在区间I上为凸函数，则I上任意三点x1 x2 x3，有

f(x3) f(x2)f(x2) f(x1)f(x3) f(x1)

.

x2 x1x3 x1x3 x2

推论2 若f(x)在区间I上的凸函数，则 x0 I,过x0的弦的斜率k(x) 是x的增函数（若f为严格凸的,则k(x)严格增）.

推论3 若f(x)是区间I上的凸函数，则I上任意四点s t u v有

f(x) f(x0)

x x0

f(t) f(s)f(v) f(u)

.

t sv u

推论4 若f(x)是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x,单侧导数f (x),f (x)皆存在，皆为增函数，且f (x) f (x) ( x I)这里I0表示I的全体内点组成之集合（若.f

为严格凸的，则f 与f 为严格递增的）.

证明 因x为内点,故 x1,x2 I,使得x1 x x2,从而（利用推论2）,

''

f(x1) f(x)f(x2) f(x)

.

x1 xx2 x

再由推论2所述,当x1递增时,

f(x1) f(x)

也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且

x1 x

f '(x)= lim

x1 x 0

f(x1) f(x)f(x2) f(x)'

.同理,在此式中，令x2 x时,可知f (x)存在,且

x1 xx2 x

f '(x) f '(x).最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知f '与f '皆为增函数.