四边形生长变化规律

四边形生长变化规律

探索图形生长的变化规律的题目常受到中考命题人的青睐,其原因是简单、直观、易懂.从一些基本图形开始,按照生长的规律,变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘,从而使问题规律清晰,易于找出它的一般性结论.

四边形规律

1、 （2012广西南宁3分）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ▲ ；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是 ▲ ．

【答案】20；3n+5或3n+4。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】第1张纸片的周长为8，

第2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．

第3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可知：

①纸张张数为1，图片周长为8=3×1+5；纸张张数为3，图片周长为8+2+4=3×3+5；纸张张数为5，

图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5； ；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5；

②纸张张数为1，图片周长为8+2=3×2+4；纸张张数为4，图片周长为8+2+4+2=3×4+4；纸张张

数为6，图片周长为8+2+4+2+4+2=3×6+4； ；当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+4。

当n=5时，3n+5=20，∴如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是20。

如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是3n+5或3n+4。

2、.（2011重庆４分）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形， 则第⑥个图形中平行四边形的个数为

A、55 B、42 C、41 D、29 【答案】

【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】找出规律：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41。故选C。

3、 （2012贵州铜仁4分）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是【 】

A．54 B．110 C．19 D．109 【答案】D。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。 【分析】寻找规律：

第①个图形中有1个平行四边形； 第②个图形中有1+4=5个平行四边形； 第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形； 第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形； …

第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；

则第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形。故选D。

4、（2012辽宁本溪3分）如图，下图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推 ，则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 ▲ _。 （n≥2，且n是正整数）

【答案】

14n 1

S。

【考点】分类归纳（图形的变化类），菱形和矩形的性质，三角形中位线定理。 【分析】观察图形发现，第2个图形中的阴影部分的面积为S，

第3个阴影部分的面积为

第n个图形中的阴影部分的面积为

14

11

S=2S ， 164

14

n 1

S。

5、．（2012湖北荆州，10，3分）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有( )

A．8048个 B．4024个 C．2012个 D．1066个

图① 图② 图③

【解析】本题是规律探索题。观察图①有4个直角三角形， 图②有四个直角三角形，图③有8个直角三角形，图④有8个直角三角形，图⑤图⑥有12个直角三角形

可以发现规律图②→图④→图⑥→图⑧→ 4 → 8 → 12 → 16 →

直角三角形的个数，依次增加4个，并且图形中直角三角形的个数是图形序号的2倍， 所以第2012个图形中直角三角形的个数有4024个 【答案】B

【点评】对于规律探索题，关键是寻找变化图形中的不变的规律。

6、. 已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有（ ）

A． 8048个B． 4024个C． 2012个D． 1066个 解析：第1个图形，有4个直角三角形， 第2个图形，有4个直角三角形， 第3个图形，有8个直角三角形， 第4个图形，有8个直角三角形， …，

依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n个，

所以，第2012个图形中直角三角形的个数是2×2012=4024． 故选B．

7、.（2011甘肃兰州4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ▲ ．

1

【答案】（2）2n﹣2。

【考点】分类归纳（图形变化），矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的性质。 【分析】已知第一个矩形的面积为1；

11

第二个矩形的面积为原来的（2）2×2﹣2=4；

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11

第三个矩形的面积是（2）2×3﹣2=16；

1

故第n个矩形的面积为：（2）2n﹣2。

8、（2011甘肃兰州4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 ▲ ．

1

【答案】（2）2n﹣2。

【考点】分类归纳（图形变化），矩形的性质，菱形的性质，三角形中位线的性质。 【分析】已知第一个矩形的面积为1；

11

第二个矩形的面积为原来的（2）2×2﹣2=4； 11

第三个矩形的面积是（2）2×3﹣2=16；

1

故第n个矩形的面积为：（2）2n﹣2。

9、（2012山西，16，3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ．

【解析】解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形2+4=6个．第三个图案有阴影小三角形2+8=12个，那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n﹣2个，

故答案为：4n﹣2（或2+4（n﹣1）） 【答案】4n﹣2（或2+4（n﹣1））

【点评】本题主要考查了图形有规律的变化，再由图形的规律变化挖掘出规律，解决此种类型的关键是分别数清每一个图形中的三角形个数，再由此猜想发现规律，从而写出最终结果.难度中等．

10、（2013 衢州）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°.顺次连结菱形

ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形

第16题