高中数学竞赛专题之数列

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一、数列的性质

等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的主要性质及内容对照讨论如下：

性质1：若a1,a2, ,an, 是等差（等比）数列，那么ai,ai j, ,ai kj, 仍是等差（等比）数列。

性质2：若{an}为等差数列，且

i j

ll 1

l 1k

l

kk

l

，那么

a a

l 1

il

l 1

kk

jl

（脚标和相同则对应的

项的和相同）；若{an}为等比数列，且应的项的积相同）。

性质3：若{an}为等差数列，记S1

i j

l 1

l 1

k

l

，那么 ail ajl（脚标和相同则对

l 1

l 1

kk

a,S

ii 1

k

2

ai k, ,Sm ai (m 1)k, ，那么

i 1

i 1

kk

记P{Sm}仍为等差数列，{an}为等比数列，1 ai,P2 ai k, ,Pm ai (m 1)k, ，

l 1

l 1

l 1

kkk

那么{Pm}仍为等比数列。

性质4：若{an}为等比数列，公比为q，且|q|〈1，则limSn

n

a1

。 1 q

例1、若{an}、{bn}为等差数列，其前n项和分别为Sn,Tn，若

Sn2n

，

Tn3n 1

则lim

an24 C. D. （ ）A.1 B.

n b393n

例2、等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（ ）

A.130 B. 170 C. 210 D.260

例3、{an}、{bn}为等差数列，其前n项和分别为Sn,Tn，若

Sn3n 31

Tn31n 3

（1）求

bb28

的值， （2）求使n为整数的所有正整数n。

ana28

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例4、在等差数列{an}中，若a10 0，则有等式

a1 a2 an a1 a2 a19 n,(n 19,n N)成立，类比上述性质，相应地：

在等比数列{bn}中，若b9 1，则有等式

例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。

例6、设Mn {(十进制）Tnn位纯小数0.a1a2 an|ai只取0或1，i 1,2, n,an 1}，是Mn的元素个数，Sn是所有元素的和，则lim

Sn

n Tn

例7、设A={1,2,…n},Sn是A的所有非空真子集元素的和，Bn表示A的子集个数，求

n

lim

SnnBn

2

的值。

例8、设数列{an}的前n项和为Sn 2an 1,(n 1,2, )，数列{bn}满足

b1 3,bk 1 ak bk,(k 1,2, )，求数列{bn}的前n项和。

方法：首先找出{an}的通项式，在找出{bn}的通项式

例9、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1 a1,b2 a2,b3 a3,(a1 a2)，又lim(b1 b2 bn)

n

222

2 1，试求{an}的通项公式。

3

(an 1),(n N)，数列{bn}的通项2

例10、设Sn是等差数列{an}的前n项和，且Sn 式为bn 4n 3，

（1）求数列{an}的通项公式，

（2）若d {a1,a2, an, } {b1,b2, bn, }，则称d为数列{an}与{bn}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{dn}，证明：{dn}的通项公式为

dn 32n 1,(n N)。

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例11、n2(n 4)个正数排成n行n列：

a11,a12,a13, a1n a21,a22,a23 a2n

an1,an2,an3, ann

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知

13

a24 1,a42 ,a43 ，求a11+a22+a33 +ann的值。

816

作业：

1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}、{3，5，7}、{9，11，13，15，17}….，则1991位于

2、在等差数列{an}中，公差d 0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列

a1,a3,ak1,ak2, ,akn, 成等比数列，求数列{kn}的通项公式。

3、设正数数列{an}满足2Sn an 1,bn an 2an 3，（1）求数列{an}的通项公式，（2）设M am bn m2 n2 2(ambn mn)，试求M的最小值。

二、数学归纳法

数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力； （2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结果中领悟数学本质的能力。

第一数学归纳法：设T(n)是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）T(1)是成立的，（2）假设T(k)成立能推出T(k 1)成立，则命题对一切自然数n都成立。

第二数学归纳法：设T(n)是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）T(1)是成立的，（2）假设T(1)，T(2)，…T(k)成立能推出T(k 1)成立，则命题对一切自然数n都成立。 解题思维过程：尝试——观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，建立猜想，给出严格证明。

2

2

2

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解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。 例1、已知对任意自然数n，有an 0且

例2、用Sn表示1,2,3, 2n的各数的最大奇数因子之和，求证：Sn

例3、设{an}是正数数列且满足Sn

a

j 1

n

3j

( aj)2，求证an n （1989年高中）

j 1

n

1n

(4 2) 3

11

(an )，求数列{an}的通项公式。 2an

方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明

例4、已知数列{xn}满足：x1 1，当n 1时，

有4(x1xn 2x2xn 1 3x3xn 2 nxnx1） (n 1)(x1x2 x2x3 xnxn 1)，试求数列{xn}的通项公式。方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明

例5、一个数列{Vn}定义如下：V0 2,V1 对于自然数n，有[Vn] 2方法：变化形式

例6、设数列{an}满足：a1 1 a,an 1

1n

[2 ( 1)n]3

5

,Vn 1 Vn(Vn2 1 2) V1,(n 1)，证明：2

。这里[Vn]表示不超过Vn的最大整数。（IMO18-6）

1

a，这里0 a 1，求证：对所有的自然an

数n，有an 1。（1977年加拿大数学奥林匹克）

例7、已知a1,a2, an是n个正数且满足a1a2 an 1， 求证：（2 a1）（ 2 a2） （2 an） 3

例8、已知 a, b是正实数，且满足

n

11

1，试证：对每一个自然数n，有 ab

(a b)n an bn 22n 2n 1

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三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式

1、转化：最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和

类型：

（1）an aan 1 b，化归成an a(an 1 )型；

（2）an 1 can d bn，化归成an bn c(an 1 bn 1)型；

（3）an can 1 d bn r，化归成an bn u c(an 1 bn 1 u)型； （4）an pan 1 cn d，化归成an n u p[an 1 (n 1) u]型； （5）an

can 111d

，化归成 型；

anan 1cdan 1 c

（6）an pan 1 qan 2型

例1、、已知数列{xn}满足： xn xn 1,且4xnxn 1 (xn xn 1 1)2，试求数列{xn}x1 1，的通项公式。方法：开方转化成等差数列的形式

例2、设数列{an}满足：a1 1,an 1 3an 4，求{an}的通项公式。 例3、设数列{an}满足：a1 a2 1,an 2

1an 1

an,(n 1,2, )，求a2004。

例4、设数列{an}满足：a1 1,(n 1)an 1 an n，求a2005。

2、变换（代换）：三角代换、代数代换 例1、已知a0

例2、数列{an}满足：a1 1,an 1

2,an

1 an 1

，求an。方法：观察特点，联想到正切公式

1 an 1

1

(1 4an 24an)，求an 16

方法：含根式，通过代换转化为不含根式的递推式

例3、设a1,a2, an满足关系式（3 an 1)(6 an) 18,且a0 3，则

1

i 0ai

n