上海中学 高二数学 竞赛选拔

上海中学 唐名昌

2015年上海中学高二数学竞赛选拔初试

一．选择题：

1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( ) A．4 B．8 C．12 D．24 a+b－cabc

2．设a、b、c均为非零复数，且bca，则的值为( )

a－b+c

A．1 B．±ω C．1，ω，ω2 D．1，－ω，－ω2

3．设a是正整数，a<100，并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为( )

A．4 B．5 C．9 D．10

4．设函数y=f(x)对于一切实数x满足f(3+x)=f(3－x)．且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( )

A．18 B．12 C．9 D．0 5．设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)，x，y∈R}，则( )

??

A．S?T B．T?S C．S=T D．S∩T=Ø 6．方程|x－y2|=1－|x|的图象为(

)

A.

B.C.

D.

二．填空题： 1．cos210°+cos250°－sin40°sin80°=

2．在△ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a，b，c，

C－A

并且c－a等于AC边上的高h，则sin2．

3．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组：

{1}， {3，5，7}， {9，11，13，15，17}，…… (第一组) (第二组) (第三组) 则1991位于第 组．

4．19912000除以106，余数是 ．

5．设复数z1，z2满足|z1|=|z1+z2|=3，|z1－z2|=3，则log3|(z1－z2)2000+(－z1

z2)2000|=

6．设集合M={1，2，…，1000}，现对M中的任一非空子集X，令αX表示X中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX的算术平均值为 ．

三．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比．

四．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|=a，|PQ|=B．求△OPQ的面积．

五．已知0<a<1，x2+y=0，求证：

- 1 -

上海中学 唐名昌

log?log1a(ax+ay)a2+8．

参考答案

一．选择题：

1．由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为(

- 2 - )

上海中学 唐名昌

A．4 B．8 C．12 D．24 解：每个正方形的顶点对应着一个正三角形．故选B

a+b－cabc

2．设a、b、c均为非零复数，且bca，则的值为( )

a－b+c

A．1 B．±ω C．1，ω，ω2 D．1，－ω，－ω2

a+b－c1+t2－t1abc322

解：令bca=t，则a=at．由a≠0得t=1，ω，ω．且1+ω+ω=0．故．选

a－b+c1－t+ttC．

3．设a是正整数，a<100，并且a3+23能被24整除，那么，这样的a的个数为( ) A．4 B．5 C．9 D．10

解：即24|a3－1，而a≡0，±1，±2，±3，4，则a3≡0，±1，0，±3，0．故a－1≡0(mod 8)．

若a≡0，1，2(mod 3)，则a3≡0，1，－1(mod 3)，∴ a－1≡0(mod 3)．即a－1≡0(mod 24)．选B．

4．设函数y=f(x)对于一切实数x满足 f(3+x)=f(3－x)

且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为( )A

A．18 B．12 C．9 D．0

解：该函数图象关于x=3对称．故6个根的和=3×2×3=18．选A．

5．设S={(x，y)|x2－y2=奇数，x，y∈R}，T={(x，y)|sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)，x，y∈R}，则( )

??

A．S?T B．T?S C．S=T D．S∩T=Ø

解：若x2－y2为奇数，则sin(2πx2)－sin(2πy2)=cos(2πx2)－cos(2πy2)成立，即S?T．

?

2222

又若x=y时，sin(2πx)－sin(2πy)=cos(2πx)－cos(2πy)也成立，即得S?T，选A． 6．方程|x－y2|=1－|x|的图象为(

)

22 2x－y=1－x，即y=2x－1(x?y)，?2 2??x－y(x?y)，?222

解：∵ |x－y2|=?2故此方程等价于?y－x=1－x，即y=1 (0?x<y)， 2

?y－x (x<y)．?22??y－x=1+x，即y=2x+1(x<0)．

故选D．

二．填空题： 1．cos210°+cos250°－sin40°sin80°=

1

解：原式=(cos10°－cos50°)2+cos10°cos50°=sin220°++cos10°cos50°=2(1－

- 3 -

A.

B.C.

D.

上海中学 唐名昌

3cos40°+cos60°+cos40°)=4

2．在△ABC中，已知三个角A、B、C成等差数列，假设它们所对的边分别为a，b，c，

C－A并且c－a等于AC边上的高h，则sin2．

hh解：易知h=c－a=－，?sinAsinC=sinC－sinA，由已知，A+C=120°． sinAsinC

C－A120?C－A312C－A∴ 2[cos(C－A)－cos120?]=2sin22，即sin2240

C－AC－A13即sin2=－2 (舍去)，sin2=2．

3．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组：

{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，……

(第一组) (第二组) (第三组)

则1991位于第 组．

解：由于1+3+…+(2n－1)=n2，故第n组最后一数为2n2－1，于是解2(n－1)2－1+2?1991?2n2－1，得n=32．即在第32组．

4．19912000除以106，余数是 ．

解：19912000=(1990+1)2000=19902000+…+C2000×19903+C2000×19902+C2000×1990+1

≡1000×1999×19902+2000×1990+1≡880001(mod 106)．即余数为880001．

5．设复数z1，z2满足|z1|=|z1+z2|=3，|z1－z2|=3，则log3|(z1－z2)2000+(－z1

z2)2000|=

解：由|z1+z2|2+|z1－z2|2=2(|z1|2+|z2|2)，得|z2|=3．由于|z1|=|z2|=|z1+z2|=3，故argz1－argz2=±120°．

∴|(z1－z2)2000+(－z1z2)2000|=2×34000|cos(120°×2000)|=34000．故log3|(z1－z2)2000+(－z1z2)2000|=4000．

6．设集合M={1，2，…，1000}，现对M中的任一非空子集X，令αX表示X中最大数与最小数的和．那么，所有这样的αX的算术平均值为 ．

解：对于任一整数n(0<n?1000)，以n为最大数的集合有2n－1个，以n为最小数的集合有21000－n个，以1001－n为最小数的集合则有2n－1个，以1001－n为最大数的集合则有21000－n个．故n与1001－n都出现2n－1+21000－n次．

11000∴ 所有αx的和=2Σ1001·(2n－1+21000－n) =1001×(21000－1)． n=1

∴ 所求平均值=1001．

又解：对于任一组子集A={b1，…，bk}，b1<b2<…<bk(1?k<1000)，取子集A?={1001－b1，…，1001－bk}，若A≠A?，则此二子集最大数与最小数之和=b1+bk+1001－b1+1001－bk=2002，平均数为1001．若A=A?，则A本身的=1001．

由于每一子集均可配对．故所求算术平均数为1001．

三．设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比．

解： PM是PO中点，延长AO与BC交于点D，则D为BC中点，连

HPD，由于AM在平面PAD内，故延长AM与PD相交，设交点为F．题199719981999

- 4 -

A

BEC

上海中学 唐名昌

中截面与面PBC交于过F的直线GH，G、H分别在PB、PC上．由于BC∥截面AGH，∴GH∥BC．

PMOADFPMOA2DF3在面PAD中，△POD被直线AF截，故MO1，但1，=，∴ADFPMOAD3FP=2．

PF2S?PGH4S?PGH4∴ PD=5，∴．而截面分此三棱锥所成两部分可看成是有顶点A的两S?PBC25SHGBC21

个棱锥A—PGH及A—HGBC．故二者体积比=4∶21．

四．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦．已知|OF|=a，|PQ|=B．求△OPQ的面积．

2a4a解：(用极坐标)设抛物线方程为ρ=PQ与极径所成角为α，则sin=B． 1－cosθ

11所求面积S=2|OF|·|PQ|sinα=2·2

五．已知0<a<1，x2+y=0，求证：

1 loga(ax+ay)?loga2+8．

1x+y1xy解：由于0<a<1，即证a+a?2a8．由于a+a?2a2．而x+y=x－x2=x(1－x)?4．于是xyab=aab．

x+y1

a2?a8．

x+y1

∴ ax+ay?2a2?2a8．故证．

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