2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则(定稿)
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2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则(定稿)
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则
2015年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上.) 1.已知点P(4,1)在函数f(x)=loga(x-b) (b>0)的图象上,则ab的最大值是 (a+b)2解:由题意知,loga(4-b)=1,即a+b=4,且a>0,a≠1,b>0,从而ab=4,
4当a=b=2时,ab的最大值是4.
π43π
2.函数f(x)=3sin(2x)在x=处的值是
424
π43ππ40π10π4π43π4π3
解:2x-===2π+f()3sin.
4124123324323.若不等式|ax+1|≤3的解集为{x |-2≤x≤1},则实数a的值是 解:设函数f(x)=|ax+1|,则f(-2)= f(1)=3,故a=2.
4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是
3×10307×642
解:有两类情况:同为白球的概率是==25×2562525×25625
72
概率是
625
x2y2x2y2
5.在平面直角坐标系xOy中,设焦距为2c的椭圆+=1(a>b>0)与椭圆1有相同
abbc的离心率e,则e的值是 .
2222
-1+5c2c-bc2b-c
解:若c>b,则a=b,矛盾,因此c<b,且有,解得e
acab2
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线B1D与平面A1BC1交于E点.记四棱锥E-ABCD的体积为V1,长方体ABCD-A1B1C1D1的体V积为V2,则的值是 .
V2
内容需要下载文档才能查看(第6题图) A1
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解:记四棱锥B1-ABCD的体积为V.
2
如图,DE=1,
3
21V2
从而V1=V.又V2,所以=
33V29
A(第6题图)
内容需要下载文档才能查看1
7.若实数集合A={31x,65y}与B={5xy,403}仅有一个公共元素,则集合A∪B中所有元素之积的值是 .
解:因为31x×65y=5xy×403=2015xy.若xy≠0,则集合A和集合B中有一组相等,则另一组也必然相等,这不合题意.所以xy=0,从而A∪B中所有元素之积的值为0. 8.设向量a=(cosα,sinα),b=(-sinα,cosα).向量x1,x2,…,x7中有3个为a,其余为b;向量y1,y2,…,y7中有2个为a,其余为b.则 xiyi的可能取值中最小的为 .
i=1
7
解:因为a·a=b·b=1,a·b=0,所以 xiyi的最小值为2.
i=1
7
9.在3×3的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格中的数分别为1,2,2015,则幻方中其余6个数之和为 . 解:如图,设幻方正中间的数为x,则由题意知
2 1
a=-2012,从而对角线上三个数的和为x-2011.
2015
因此b=x-2014,c=-4026,d=-2013,e=x+2014. 2011
由b+e+x=x-2011,解得x=-
2201118099
这9个数的和为3×(--2011),
22
1809922135
所以幻方中其余6个数之和为-2018=-
22
(第9题图) e d a
c x 2015
1 2 b
(第9题图)
10.在平面直角坐标系xOy中,设D是满足x≥0,y≥0,x+y+[x]+[y]≤19的点(x,y)形成的区域(其中[x]是不超过x的最大整数).则区域D中整点的个数为 . 解:区域D中整点的个数为1+2+3+…+10=55.
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二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)
11.在等比数列{an}中,a2=2,q是公比.记Sn为{an}的前n项和,Tn为数列{a2若n}的前n项和.
S2n=2Tn,求q的值.
解:若q=1,则an=a2=2,a2n=4,则S2n=4n,Tn=4n,S2n≠2Tn.
若q=-1,则an=2×(-1)n,a2n=4,则S2n=0,Tn=4n,S2n≠2Tn.
……………………………… 5分
242n
×(1-q2n)×(1-q)qq-2n-4
若q≠±1,则an=2qn2,a2=4q,从而S=T= 2nnn1-q1-q……………………………… 15分
由S2n=2Tn,则
-1±174
1,q2+q-4=0,解得q.
2q(1+q)
-1+17-1-17
综上,q和. ……………………………… 20分
2212.如图,△ABC中,AB>AC,点D、E分别在边AB、AC上,且BD=CE.∠BAC的外角
平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点.
C
求证:A、P、B、C四点共圆.
证明:如图,连结PD,PE,PC.
因为四边形APDE是圆内接四边形, 所以∠PAD=∠PED,∠PAF=∠PDE. 又因为AP是∠BAC的外角平分线, 所以∠PAD=∠PAF, 从而∠PED=∠PDE,
A F
(第12题图)
B
C A
(第12题图)
B
故PD=PE. ……………………………… 10分 又∠ADP=∠AEP, 所以∠BDP=∠CEP.
又因为BD=CE,所以△BDP≌△CEP,从而∠PBD=∠PCE,即∠PBA=∠PCA,
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所以A、P、B、C四点共圆. ……………………………… 10分
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,圆O1、圆O2都与直线l:y=kx及x轴正半轴相切.若
两圆的半径之积为2,两圆的一个交点为P(2,2),求直线l的方程. 解:由题意,圆心O1,O2都在x轴与直线l
内容需要下载文档才能查看若直线l的斜率k=tanα, α2t
设t=tank=.
21-t圆心O1,O2在直线y=tx上, 可设O1(m,mt),O2(n,nt).
交点P(2,2)在第一象限,m,n,t>0. ……………………………… 4分 所以⊙O1:(x-m)2+(y-mt)2=(mt)2,
⊙O1:(x-n)2+(y-nt)2=(nt)2,
(2-m)2+(2-mt)2=(mt)2, m2-(4+4t)m+8=0,
所以 即 2……………… 8分 222
(2-n)+(2-nt)=(nt), n-(4+4t)n+8=0,
所以 m,n是方程X2-(4+4t)X+8=0的两根,mn=8.
11
由半径的积(mt)(nt)=2,得t2=,故t=.……………………………… 16分
422t144
所以 k=l:yx. ……………………………… 20分 =1331-t
1-414.将正十一边形的k个顶点染红色,其余顶点染蓝色. (1)当k=2时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数;
(2)k取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由. 解:(1)设正十一边形的顶点A1,A2,A3,…,A11,则易知其中任意三点为顶点的三角形都
不是正三角形.
以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算:以Ai(i=1,2,3,…,11)为顶角顶点11-1
的等腰三角形有5个,这些三角形均不是等边三角形,即当j≠i时,以Aj为顶角
2顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形.
故所有的等腰三角形共有5×11=55个. …………………… 5分
当k=2时,设其中Am,An染成红色,其余染成蓝色.
以Am为顶角顶点的等腰三角形有5个,以Am为底角顶点的等腰三角形有10个;同时以Am,An为顶点的等腰三角形有3个,这些等腰三角形的顶点不同色,且共有(5+10)
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×2-3=27个.
注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色,故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55-27=28个. ………………………… 10分
(2)若11个顶点中k个染红色,其余11-k个染蓝色.则这些顶点间连线段(边或对角k(k-1)(11-k)(10-k)
线)中,两端点染红色的有条,两端点染一红
22一蓝的有k(11-k)条.并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形.
把等腰三角形分4类:设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个,三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个,两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个,两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个,则按顶点颜色计算连线段,
k(k-1)
3x1+x3=3× ①
2(11-k)(10-k)
3x2+x4=3× ②
22x3+2x4=3×k(11-k), ③
3
由①+②得 3(x1+x2)+x3+x4k(k-1)+(11-k)(10-k)],
2
11
用③代入得 x1+x2=[ k(k-1)+(11-k)(10-k)-k(11-k)](3k2-33k+110).
221
当k=5或6时,(x1+x2)min=(5×4+6×5-5×6)=10.
2
即顶点同色的等腰三角形最少有10个,此时k=5或6.………… 20分
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