动力荷载作用下层状地基中单桩及周围土层的反应分析_蒋通

动力荷载作用下层状地基中单桩及周围土层的反应分析

蒋通 程昌熟

（同济大学结构工程与防灾研究所，上海）

摘 要 采用二次形函数薄层单元和傍轴边界分别模拟弹性半空间上的层状场地和半空间。利用薄层法位移基本解和容积法推导了层状地基中桩－土动力相互作用方程及阻抗函数和桩周围土层位移响应的计算公式。通过计算半无限地基中桩基的阻抗函数验证了方法的正确性。进而计算上海地区典型土层中单桩在竖向和水平简谐动力荷载作用下周围土层地表的位移响应，讨论了模型深度和桩长对计算结果的影响及单桩周围地表振动随距离的衰减规律。

关键词 薄层法，容积法，桩基，阻抗函数，动力响应

0 引言

高架轨道交通引起的环境振动问题涉及到车辆、轨道、桥梁、柱、基础及地基组成体系的动力问题。这一庞大体系的计算非常复杂。按照现有的计算能力，作为一个整体计算模型是不现实的。一般可将整个体系分成两个子结构，一个是车辆和桥梁组成的上部结构；另外一个是柱、基础和地基组成的下部结构[1]。将第一个子结构算的的支座动反力作用在第二个子结构的柱顶，即可算得高架轨道交通沿线地面的环境振动，其中，结构的计算涉及到桩－土动力相互作用问题。本文采用二次形函数的薄层单元模拟弹性半空间上的层状场地，用傍轴边界代替半空间，利用薄层法位移基本解和容积法推导了层状地基中桩－土相互作用体系的运动方程。通过计算弹性半空间中单桩阻抗函数验证了方法的正确性。并就上海地区的典型场地，计算了单桩在垂直和水平简谐动力荷载作用下桩基周围地面振动并分析振动的衰减规律。

按薄层分层设置要求划分单元，桩单元节点与层单元节面一致。桩坐标系和节点自由度如图2所示，各节点的自由度为水平位移ux、绕y轴回转角位移θy和竖向位移u

z3个位移分量。

1 分析方法

{P}=[S]{U} (1)

式中，{P}、{U}为图2所示的单元节点力向量和节点位移向量，{P}=Px1,My1,Pz1,L,Pxn,Myn,Pzn

()

T

，

{U}=(ux1,θy1,uz1,L,uxn,θyn,uzn)

?1

T

。[S]为桩－土

体系的动力刚度矩阵，由图3所示的容积法可得

GG2

?KP??+????AiωωMM()[S]=[KP]??[]P??P????

()

层状半空间地基中的单桩基础计算模型如图1所示。设桩长LP，桩截面是直径为d的圆形截面，基础承台为刚性，且不与土接触。用二次形函数薄层单元[2]

模拟层状地基，底面采用傍轴边界模拟弹性半空间，

(2)

G

式中，[ΚP]、[MP]为桩的刚度及质量矩阵，?K?P??、G?M?P??为与桩同体积的开挖出土柱的刚度及质量矩

阵。[A(iω)]为由薄层法求得的自由地基的格林函数矩阵，为各节点自由度构成的与频率ω相关的复数矩阵，其第(i,j)（i=1,L,n，j=1,L,n?1）个元素可以由薄层法环形荷载激振解的计算公式求得，第

由式(3)可解得桩的位移{U}，则桩－土之间的相互作用力为

{F}=??K??{U} (5)

G

G

G式中?K???为开挖后地基的刚度矩阵，由图3可得 GGG2??????KAiωKωM=????()PP???????? (6)

(i,n)（i=1,L

,n）个元素可以由薄层法圆盘均匀分

布荷载激振解的计算公式求得。

?1

()

如图4所示，由圣维南原理，将FG等效到圆环或圆盘中心，再利用薄层法点激振位移基本解即可求得

{}

在FG作用下土层任何位置处的位移，即为简谐荷载{P}1作用下桩周围土层的位移响应。

{}

2半无限地基中单桩的阻抗函数

为了验证计算方法的正确性，计算了半无限地基

中单桩的水平和垂直阻抗函数，并与文献[4]的计算结果进行对比。

桩基顶部的阻抗函数

荷载作用，故可将图2所示的桩头节点i=1及此外的i=2~n分开考虑，将式(1)改写成

??{P}1???[S]1,1??=?

?[S]2～n,1??{P}2~n???[S]1,2~n????{U}1?

??? (3)

SU[]2~n,2~n?????{}2~n?

令{P}2~n={0}，可推导出

?Kxx

[K]=??Kθx

??

KxθKθθ

?

? (7) ?Kzz??

{P}1=[K]{U}1 (4)

式中，[K]=[S]1,1?[S]1,2~n[S]2~n,2~n[S]2~n,1即为单桩桩头水平、回转、垂直的阻抗函数。

当桩头受简谐动力荷载{P}1=Px1,My1,Pz1

?1

式中，Kxx、Kθθ和Kzz分别为桩头水平、回转、垂直阻抗函数，Kxθ=Kθx为水平回转耦合项。每个阻抗函数可以写成k+ia0c，其中k和c分别为阻抗函

()

T

，

数的刚度和阻尼，a0为无量纲频率a0=ωds，Vs为地基土的剪切波速。

计算参数如下：桩直径d=1m、长Lp=20m，质量密度ρp=2000kgm，泊松比μp=0.25，弹性模量Ep=3.92×10Nm，不考虑阻尼，桩头受转动约束。土的质量密度ρs=1400kgm，阻尼比

3

9

23

3简谐荷载作用单桩周围地表位移响应

3．1 模型深度的影响

本节就上海典型场地土，讨论单桩在垂直简谐动

力荷载作用下薄层模型深度对桩基周围地表位移响应的影响。上海典型土层计算参数见文献[5]，土的泊松比μs=0.4，阻尼比βs=0.05，混凝土（强度等级C25）桩直径d=0.8m、桩长LP=30m，质量密度

βs=0.05，剪切波速Vs=100ms,泊松比μs=0.4。

根据文献[2]中薄层模型的设置指标，薄层厚度取

ρp=2500kgm3，泊松比μp=0.25，弹性模量

Ep=2.8×1010Nm2，阻尼比βp=0.05。场地土

计算深度分别取L1=100m，此深度下弹性半空间剪切波速Vs=300ms；L2=150m，此深度下弹性半空间剪切波速Vs=350ms；L3=220m，此深度下弹性半空间剪切波速Vs=500ms，达到工程基岩深度。桩头受竖向简谐激振力，其幅值Pz=

1N。

H=0.5m，最下层设置傍轴边界。 深度取L=120m，

图5给出了单桩阻抗函数并与文献[4]的计算结果进行对比，图中kxx、kzz为半空间中单桩的水平静刚度4600EpILp和垂直静刚度1.58EpAPLp。由图可见本文方法算得的阻抗函数与文献[4]的计算结果均十分接近，从而验证了方法的正确性。

s

s

(

3

)()

1.0

0.8uz(×10m)

0.60.40.20.0

-9

1.0

R(m)

0.8

uz(×10m)

0.60.40.20.0

-9

R(m)

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1.0

0.8uz(×10m)

uz(×10m)

-9

0.60.40.20.0

-9

R(m)

R(m)

图6 不同深度模型的桩周地表位移响应 图7 不同桩长的桩周地表位移响应

图6给出了在激振频率f分别为3Hz、8Hz和

图7给出了不同桩长在激振频率f分别为3Hz、

15Hz时不同深度模型的单桩周围地表位移响应。横坐标R为距桩中心的距离。由图可以看出在同样激振

频率的激振力作用下，取不同深度的模型的桩周地表位移响应十分接近。因此，对于上海典型场地土层，模型的计算深度取100m即可满足精度要求。

8Hz和15Hz时桩周围地表位移响应。由图可以看出在同样的激振外力作用下，激振频率较低（f=3Hz）

时，桩长为20m的桩周围的地表位移响应大于桩长为30m和40m的地表位移响应。而随着激振频率提高，不同长度的桩周围的地表位移响应趋于接近。因此，在激振频率较低时，通过增加桩长来降低桩周围的振动是有效的。

3．2 桩长的影响

本节计算上海典型场地中不同长度的单桩在垂直简谐动力荷载作用下桩基周围地表位移响应。场地土参数同上，由上节计算结果可知，模型的计算深度取

3．3 桩周地表振动位移衰减规律

桩和场地土参数同3.1，模型的计算深度取L=100m，桩长取Lp=30m，讨论单桩在不同频率的单位竖向和水平简谐动力荷载作用下桩周地表的竖向和水平位移随距离的衰减。

100m即可满足精度要求。桩长分别取LP1=20m、

LP2=30m和LP3=40m

三种不同的情况，其余参数

同上节。

uz(×10m)

-10

0.200.150.100.050.00

R(m)

uz(×10m)

-9

R(m)

0.8

ux(×10m)

-10

0.70.60.50.40.30.20.10.0

5

10

1520R(m)

uz(×10m)

5

10R(m)

15

-9

2530

20图8 水平简谐动力荷载作用下单桩周围地表的水平和竖向位

移响应

图8给出了不同频率的水平简谐动力荷载作用下桩周地表水平和竖向振动位移随距离的衰减。从图中可以看出各频率的振动衰减均显示出，频率越高，随距离的衰减越快，且高频振动位移衰减随着距离的变化还出现了起伏波动。

765m)

－10

432100

5

10

15R(m)

20

程，得出用薄层法分析桩基阻抗函数和桩周围土层响应的计算公式。并计算了弹性空间中单桩的阻抗函数和在简谐动力荷载作用下上海典型场地中单桩周围的地表位移响应，可得如下结论，

（1） 用二次形函数的薄层法计算简谐动力荷载作

用下桩周围土层及地表位移响应是可行的。

（2） 对于上海典型场地土层，用本文方法分析桩－

土相互作用问题，模型的计算深度对分析结果影响不大，取100m即可满足精度要求。

（3） 在同样的激振外力作用下，激振频率较低时，

不同桩长的桩周地表位移响应相差较大，随着激振频率提高，不同长度的桩周地表位移响应趋于接近。激振频率较低时，通过增加桩长来降低桩周振动是有效的。

（4） 水平简谐荷载作用下频率越高桩周地表振动

随距离衰减的越快，高频振动下位移随着距离的变化出现起伏波动。垂直简谐荷载作用下桩

周地表振动除了1Hz的低频振动以外，频率越高则随着距离衰减越快。

参 考 文 献

ux(×10

2530

7

65m)

－10

432100

5

10

15R(m)

uz(×10

[1] [2]

20

25

30

张昕. 高架轨道交通引起环境振动的实测和理论分析研究[D].上海：同济大学, 2002. 蒋通,程昌熟. 用二次形函数薄层法分析弹性层状地基中的动力问题[J]. 力学季刊, 2005,待发表.

[3]

图9 竖向简谐动力荷载作用下单桩周围地表的水平和竖向位

移响应

長谷川正幸. 弹性波動论に基づいた群杭の動的举動に関する基礎的研究[R]. 清水建设株式会社,1993.

图9给出不同频率的竖向简谐动力荷载作用下桩周地表竖向和水平振动位移随距离的衰减，从图中可以看出相对于水平振动，竖向振动随距离的衰减较快。各频率的振动衰减大多显示出，频率越高则随距离衰减越快，但在频率低于1Hz时也有例外。

实际应用的桩基础为群桩，在动力荷载作用下群桩周围的地表位移响应和振动随距离的衰减规律将比单桩要复杂的多，有待进一步研究。

[4] A. M. Kaynia, E. Kausel. Dynamics of piles and pile groups in layered soil media[J].Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 1991, 10:386~401.

[5]

同济大学.上海市地震小区划研究报告[R]. 1992.

4 结论

本文根据层状半空间地基中单桩－土相互作用方