四年级奥数教程第五讲利用等差数列计算(一)

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上传时间：2015-04-25
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四年级奥数教程第五讲利用等差数列计算(一)

第五讲等差数列（一）

解题方法

若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。

例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式:

通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差

项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1

求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2

在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。例题1 有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项

提示仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是3，所以这是一个以4为首项，以公差为3的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。

解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,

项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。

引申

1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。

答：这个数列共有27项

2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?

答: 这个数列共有32项

3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?

答：这个等差数列共有29项。

例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？

提示：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于5，所以这是一个以2为首项，以公差为5的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答

解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,

第100项=2+(1OO-1)×5=497,

所以这个等差数列的第100项是497。

引申

1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。

答案：这个等差数列的第30项是117。

2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。

答案: 这个等差数列的第100项是299。

3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?

答案：它的末项是49。

例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。

提示：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。

解：因为首项是2,末项是1990,公差是2,昕以,

项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出

2+4+6+8+…+1990=(2+1990)×995÷2=991020。

引申

1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。

解：1+2+3+4+…+53+54+55=(l+55)×55÷2=1540。

2、计算5+10+15+20+ +190+195+200的和。

解:首项=5,末项=200,公差=5,

项数=(200-5)÷5+1=40,5+10+15+20+…+190+195+200=(5+200)×40÷2=4100。

3、计算100+99+98+…+61+60的和

答：3280

例题4 计算（1+3+5+…+l99l)-（2+4+6+…+1990）

提示：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。

解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以

被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;

减数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以

减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以

原式=992016-991020=996。

引申

1、计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)

答案: 1002

2、计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)

答案：50

3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。

答案：4

例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。

提示：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于3，所以这是一个以2为首项，以公差为3的等差数列，求80是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。

解：这列数的首项是2,末项是80,公差是3,运用公式:项数=(末项-首项)÷公差+1

即(80-2)÷3+1=27,所以80是该数列的第27项。

引申

1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。

答案:第12个数是91

2、有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。

答案：785是第88个数

3、在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994?

答案：第285个数是1994。

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