数理统计方法1-1

数理统计方法

第1章 概率论的基础知识

§1.1 随机变量、频率与概率

1.1.1 随机变量

在自然界和人类活动中，我们经常会遇到各种各样的变量。其中有一些变量，只要在相同的条件下进行同样的观测或实验，它的取值就是完全确定的。例如，在一个电路中，只要电压和电阻固定不变，电流就是一个确定的值；在真空中，一个从高处落下的自由落体，只要高度和重力加速度保持不变，落地所用的时间就是一个确定的值。

但是，我们有时还会遇到另一种变量。例如，掷一个骰子，看掷出的点数，虽然是在同样的条件下掷同一个骰子，掷出的点数却是不一定的，可以是1、2、3、4、5或6；用一台车床加工零件，测量加工出来零件上的某个尺寸，由于不可避免地存在加工误差，虽然是同一台车床在同样的条件下加工同一种零件，加工出来的尺寸却可能有大有小，并不是确定的。

像这种在同样条件下进行同样的试验，其取值在试验之前无法预先确定的变量，称为随机变量。换句话说，随机变量就是随着试验结果的不同而随机地取各种不同值的变量。

随机变量是概率论和数理统计的主要研究对象。在概率论和数理统计中，通常将随机变量记为?,?,?（或X,Y,?）。

1.1.2 频率与概率

既然随机变量的取值是随机的、偶然的、无法预知的，那么，是不是它就没有什么规律可以研究了呢？事实上，并不是这样。如果我们在相同的条件下进行多次重复试验，随着试验次数的不断增多，就会发现，在它的后面隐藏着某种必然的、规律性的东西。

下面看一个例子。 例1 同时扔2个硬币，设?是出现正面向上的硬币的个数，?的取值事先无法确定，可能是0、1或2，显然，它是一个随机变量。

我们把这种扔硬币的试验重复进行n次，设在这n次试验中，出现0、1、2个正面向上的情形分别为n1、n2、n3次。称nk（k?1,2,3）为频数，称nkn（k?1,2,3）为频率。下表中给出了在不同的试验次数下对频率的统计结果。

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从表中数据不难看出，随着试验次数n的不断增多，频率越来越明显地稳定在一个常数值附近，n1n的稳定值为p1?0.25?4，n2n的稳定值为p2?0.50?2，n3n的稳定值为p3?0.25?4。

其实，对于任何其他的随机变量，我们发现，也总是有这样的现象，这种现象称为频率的稳定性。因此，我们有下列定义。

定义1.1 设随机变量?的取值范围可以分成r（r可以是可列无穷大）种互不重复的情形，在n次试验中，出现第k种情形的次数（频数）为nk，频率为nkn，k?1,2,?,r。随着试验次数n的无限增大，频率nkn会越来越明显地稳定在一个常数值pk附近，这个常数值反映了随机变量?取值为这种情形的可能性的大小，我们称它为概率。

在概率统计中，通常用P{??k}表示“?的值等于k的概率”，用P{a???b}表示“?的值大于a小于等于b的概率”，??，等等。

§1.2 概率的基本性质

下面不加证明地列出概率的一些重要的基本性质。

性质1 对任何概率p，必有0?p?1。

性质2 设随机变量?的取值范围可以分成r（r可以是可列无穷大）种互不重复的情形，?的值属于第k种情形的概率为pk，k?1,2,?,r，则必有?p

k?1rk?1。

性质3 互逆（即正好相反）的两个事件的概率加起来等于1。

例如，有P{??a}?1?P{??a}，P{??a}?1?P{??a}，??，等等。 性质4 设?,?是两个相互独立（即它们的取值互不影响）的随机变量，则它们（在点或在区间上）同时取值的概率，等于它们各自取这些值的概率的乘积，例如有

P{??i,??j}?P{??i}P{??j} ，

P{??x,??y}?P{??x}P{??y}，

P{??x,??y}?P{??x}P{??y} ，

??，等等。对于多个相互独立的随机变量，这个性质同样也是成立的。

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§1.3 离散型随机变量的概率分布

1.3.1 离散型随机变量的概率分布的定义

有些随机变量，只能在离散点上取值，例如，掷一个骰子掷出的点数，同时扔两个硬币出现正面向上的硬币个数，这种随机变量称为离散型随机变量。

定义1.2 设?是离散型随机变量，将?可能取的所有的值、以及它取这些值的概率一一列举出来，这样得到的一组概率，称为?的概率分布（或分布列，分布律）。

1.3.2 常见的离散型随机变量的概率分布

下面介绍几个常见的离散型随机变量的概率分布。

（1）离散均匀分布

如果 ? 可能取的值为1,2,?,r，其中r是一个正整数，? 的概率分布为

P{??k}?1 ，k?1,2,?,r ， r

则称 ? 服从参数为 r 的离散均匀分布。

例1 掷一个骰子掷出的点数 ?，它的概率分布为

P{??k}?1 ，k?1,2,?,6 ， 6

? 服从的就是 r?6 的离散均匀分布。

（2）二项分布

如果 ? 可能取的值为 0,1,2,?,n，其中n是一个正整数，0?p?1是一个常数，?的概率分布为

kkP{??k}?Cnp(1?p)n?k ，k?0,1,?,n ，

则称 ? 服从参数为 n,p 的二项分布，记为 ?～b(n,p)。

例2 同时扔n个均匀的硬币，? 为这n个硬币中出现正面向上的硬币个数，? 的分布就是参数为 n 和 p?11 的二项分布，即有 ?～b(n,)，? 的概率分布为 22

k

nk1k1n?kCnP{??k}?C()(1?)?n ，k?0,1,?,n 。 222

３

在二项分布中，如果 n?1，即当 ?～b(1,p) 时，? 的概率分布简化为

P{??k}?pk(1?p)1?k ，k?0,1 。

这时，?的值只能取0或1，P{??0}?1?p，P{??1}?p，我们将 ? 的分布称为0-1分布（或两点分布，或Bernoulli分布）。

（3）几何分布

如果 ? 可能取的值为1,2,3,?，0?p?1是一个常数，? 的概率分布为

P{??k}?(1?p)k?1p ，k?1,2,3,? ，

则称 ? 服从参数为 p 的几何分布，记为 ?～g(p)。

例3 向目标连续射击，直到击中目标为止，设每次射击的命中率为 p，? 是到击中目标为止所需要的射击次数，?服从的就是参数为 p的几何分布，即有?～g(p)，

P{??k}?(1?p)k?1p ，k?1,2,3,?。

这从直观上很容易理解：到第k次射击才击中，一定是前k?1次都没有击中，这样的概率为(1?p)k?1k?1p。 ，最后一次击中，概率为p，把它们全部乘起来就是(1?p)

例4 设袋中有10个球，其中3个是红球，7个是白球。从中每次任意取一个球，取后仍放回。设 ? 是取到红球为止所需的取球次数，则有

73P{??k}?()k?1? ，k?1,2,3,? ， 1010

即 ?～g(3)。 10

（4）Poisson （普阿松，泊松）分布

如果 ? 可能取的值为0,1,2,?，??0是一个常数，? 的概率分布为

P{??k}??k

k!e?? ，k?0,1,2,? ，

则称 ? 服从参数为 ? 的Poisson分布，记为 ?～P(?)。

例如，单位时间内来到的电话数，单位时间内来到的顾客数，单位时间内观测到的放射性粒子数，一年内发生的交通事故数，每页书中的排版印刷错误数，??，等等，都服从或近似服从Poisson分布，参数?就是?的平均值。

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实际上，还可以有其他各种不同形式的概率分布。

有时，我们会遇到这样的问题：只知道一个概率分布的形式，但分布中有些常数却不知道，需要我们来确定。

例5 设?的概率分布为

k ，k?1,2,?,r ， A

其中，r是一个已知的正整数，A是未知常数，求A?? P{??k}?

解 根据前面介绍过的概率的性质 ?p

k?1rk?1，有

r(r?1)

k1?2???r ， 1??P{??k}????AAk?1k?1Arr

所以，A?r(r?1) ，即有 2

P{??k}?k2k? ，k?1,2,?,r 。 Ar(r?1)

§1.4 连续型随机变量的分布函数和概率密度

1.4.1 连续型随机变量的分布函数和概率密度的定义

有些随机变量，它们的取值范围是实数轴上的连续区间，例如，加工零件时的加工误差，炮弹落点到目标的距离，两次电话来到之间的时间间隔，它们都在连续区间上取值，这种随机变量称为连续型随机变量。

连续型随机变量的取值不可能一一列举出来，所以，不能用概率分布的形式给出它的分布。要表达它的分布，必须采取其他的形式。

定义1.3 设?是一个连续型随机变量，称

F(x)?P{??x} ，???x??? ，

为?的分布函数（有些书上,将分布函数定义为 F(x)?P{??x}，???x???）。

如果存在一个函数?(x)，使得

F(x)???(t)dt ，???x??? ， ??x

则称?(x)是?的概率分布密度函数，简称概率密度（或分布密度，或密度函数）。 概率密度?(x)的大小反映了?在x的邻域内取值的概率的大小。

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