练习13函数(任建文)新daan

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练习13函数(任建文)新daan

函数（任建文三道题）

1.已知函数f(x)?x2?(2a?1)x?alnx

(1)当a?1时，求函数f(x)的单调增区间

(2)求函数f(x)区间?1,e?上的最小值；

(3)设g(x)?(1?a)x，若存在x0??,e?，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数a的取值范围。 e

?1???

b?a(a?R,a?0)在x?3处的切线方程为(2a?1)x?2y?3?0 x?1

（1）若g(x)=f(x?1)，求证：曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x?0和直线y?ax 2. 已知函数f(x)?ax?

围成的三角形面积为定值；

（2）若f(3)?3，是否存在实数m,k，使得f(x)?f(m?x)?k对于定义域内的任意x都成立；

（3）当a?1时，若方程f(x)?t(x2?2x?3)x有三个解，求实数t的取值范围．

?33a4ax?,x?,??x2 3. 已知常数a?0，函数f?x????49a2x,x?a,?2?4

（1）求f?x?的单调递增区间；

（2）若0?a?2，求f?x?在区间?1,2?上的最小值g?a?；

（3）是否存在常数t，使对于任意x??a??a??a,2t???t??时， 2??2??2

f?x?f?2t?x??f2?t???f?x??f?2t?x??f?t?恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。

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19. 解：（1）因为 f(x)?a?'bb?2a?1，b?2………… 2分 '所以 ,f(3)?a?(x?1)2

22, x2又 g(x)?f(x?1)?ax?. 设g(x)图像上任意一点P(x0,y0),因为 g'(x)?a?所以切线方程为y?(ax0?22)?(a?2)(x?x0).………………………………… 4分 x0x0

令x?0, 得y?4；再令y?ax,得 x?2x0, 0

14??2x0?4, 即三角形面积为定值.……………………… 6分 20

2?1 x?1故三角形面积S?（2）由f(3)?3得a?1，f(x)?x?

假设存在m,k满足题意,则有x?1?22?m?x?1??k, x?1m?x?1

化简,得 2(m?2)?k?2?m对定义域内任意x都成立,……………… 8分 (x?1)(m?x?1)

故只有??m?2?0,?m?2,解得? ?k?2?m?0.?k?0.

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所以存在实数m?2,k?0,使得f(x)?f(m?x)?k对定义域内的任意x都成立.…11分

（3）由题意知,x?1?2?t(x2?2x?3)x, x?1

因为x?0,且x?1,化简,得 t?1,………13分 x(x?1)

2?1?x?x,x?0,且x?1,即?x(x?1)??……………………15分 2t???x?x,x?0.

如图可知,?11??0. 所以t??4,即为t的取值范围.…………………………………………………… 16分

a492ax为增函数. …………………………………（1分）时，f(x)?24

a3a4

2当x?时，f?(x)=3x?2.令f?(x)?0，得x?a或x??a.…………（3分） 2x

aa∴f(x)的增区间为(??,?a)，(?,)和(a,??).……………………………（4分） 2220. ⑴当x?⑵由右图可知，

①当1?a?2时，a?1?a，f(x)在区间?1,a?上递减，在?a,2?上递增，最小值为2

f(a)?4a3；………（6分）

②当0?a?1时，f(x)在区间?1,2?为增函数，最小值为

f(1)?1?3a4；……………………………（8分）

③当a?2时，f(x)在区间?1,2?为增函数，最小值为

f(a)?4a3； ……………………………（9分）

?1?3a40?a?1综上，f(x)最小值g(a)??. ………………………………（10分） 31?a?2?4a

2⑶由f(x)f(2t?x)?f?t???f(x)?f(2t?x)?f(t)，

可得?f(t)?f(x)??f(t)?f(2t?x)??0， ………………………………（12分）

f(t)?f(x)?f(t)?f(x)a??a或?成立，所以t为极小值点，或t为极大值点.又x??,2t??时f(x)没有2??2?f(t)?f(2t?x)?f(t)?f(2t?x)

极大值，所以t为极小值点，即t?a……………（16分）

（若只给出t?a，不说明理由，得1分）即??

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