数理统计方法2-1

第2章 数理统计的基本概念

§2.1 总体与样本

在概率论中，我们引入了随机变量的概念。所谓随机变量，简单地说，就是随着试验结果的不同而随机地取各种值的变量。

例如，某厂生产了一批电子元件，从这批电子元件中随机地取一个，测试它的使用寿命，这个使用寿命就是一个随机变量。

我们希望知道电子元件的使用寿命服从什么分布，显然，不可能对这批电子元件中的每一个，都作一次使用寿命的测试。

在实际生产中，我们采用的是“抽样试验”的方法，即从这批电子元件中随机地抽取几个、十几个样品，测试它们的使用寿命，然后，根据样品测试的结果，推断出这批电子元件的使用寿命服从什么分布。

这样做，自然会产生一些问题：怎样根据一小部分样品的测试结果，来推断出整体的随机变量的分布？这样的推断，可靠性如何？还有，怎样使试验次数尽可能少一些，而仍然能得到我们所需要的结果？这一切，正是数理统计这门学科要研究的问题和要解决的任务。

在数理统计中，我们把作为统计研究对象的随机变量（例如上面例子中电子元件的使用寿命），称为总体，记为 ?，?，? （或记为X，Y，?）。对总体进行 n 次试验后所得到的结果，称为样本，记为（X1,X2,?,Xn），（Y1,Y2,?,Yn），??，其中，试验次数 n 称为样本容量。样本（X1,X2,?,Xn）中的每一个 Xi 都是随机变量。样本所取的一组具体的数值，称为样本观测值，记为（x1,x2,?,xn） 。

样本观测值（x1,x2,?,xn）是我们做了 n 次试验以后，得到的具体的结果，它们的取值是已知的，确定的，所以，样本观测值（x1,x2,?,xn）中的每一个 xi 都是数字。样本（X1,X2,?,Xn）是我们预计做 n 次试验后，可能会得到的结果，在试验未做之前，试验会得到什么结果是未知的,不确定的，它们的取值是随机的，随着试验结果不同而取各种不同的值，所以，样本（X1,X2,?,Xn）中的每一个 Xi 都应该看作是随机变量。

实际问题中的样本（X1,X2,?,Xn），一般来说，都具有下列两条性质：

（1）独立性，即 X1,X2,?,Xn 相互独立。

（2）同分布性，即每一个 Xi 都与总体 ? 服从相同的分布。

凡是具有这两条性质的样本，称为简单随机样本 。今后我们讲到“样本”，总是指简单随机 １７

样本，也就是说，我们认为样本都是具有独立性和同分布性的。

如果总体 ? 是离散型随机变量，概率分布为 P{??k} ， k?1,2,3,? ， 则样本(X1,X2,?,Xn) 的联合概率分布为

P{X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn}?P{X1?x1}P{X2?x2}?P{Xn?xn}

?P{??x1}P{??x2}?P{??xn}??P{??xi} ，xi?1,2,3? (i?1,2,?,n) 。.

i?1n

如果总体?是连续型随机变量，概率密度为 ?(x)，则样本(X1,X2,?,Xn) 的联合概率密度为

?*(x1,x2,?,xn)??X(x1)?X(x2)??X(xn)??(x1)?(x2)??(xn)???(xi) 。 12nni?1

例1 设总体 ?～P(?),(X1,X2,X3)是?的样本，求(X1,X2,X3) 的联合概率分布。

解 因为?～P(?)，? 的概率分布为 P{??k}?

(X1,X2,X3) 的联合概率分布为 ?kk!e??，k?0,1,2,?。 所以

?P{??x}??x!ei

i?133?xii?????xii?13i?1?x!i

i?13e?3? ， xi?0,1,2,? (i?1,2,3)。.

例2 设总体?～E(?)，(X1,X2,X3)是?的样本，求 (X1,X2,X3) 的联合概率密度。

??e??x

解 因为?～E(?),概率密度为 ?(x)???0

合概率密度为 x?0 。所以 (X1,X2,X3) 的联x?0

3?33???e??xi?(xi)??i?1?i?1?0?

???xixi?0(i?1,2,3)??3e?i?1???其他?0minxi?0 。 i其他

§2.2 用样本估计总体的分布

１８

2.2.1 经验分布函数

数理统计的一个主要任务，就是要用样本估计总体的分布。

设F(x)?P{??x}为总体?的分布函数。称

Fn(x)?样本(X1,X2,?,Xn)中?x的值的个数 ，???x??? ， 样本观测次数n

为经验分布函数（或样本分布函数）。

从这个定义可以看出，如果将样本观测值x1,x2,?,xn按从小到大的次序排列成

x(1)?x(2)???x(n) ，

则有

?0当x?x(1)?Fn(x)??in当x(i)?x?x(i?1),i?1,2,?,n?1 ，

?1当x?x(n)?

Fn(x)是一个单调非降的阶梯函数。

因为

Fn(x)?样本(X1,X2,?,Xn)?x的频率 ≈ 总体??x的概率 ?P{??x}?F(x) ， 所以，当 n充分大时，经验分布函数Fn(x)是总体分布函数F(x)的良好近似。

1933年，俄国数学家格里文科（Γливенко）证明了

P{limsupn?????x???Fn(x)?F(x)?0}?1 ，

即Fn(x)以概率1一致收敛于F(x)。

2.2.2 频率直方图

如果总体?是一个连续型随机变量，我们可以用下列方法来估计它的概率密度 ?(x)： 作分点 a?a0?a1?a2???ar?b，将?的样本取值范围 (a,b) 分成r个区间。设共进行了n次试验，落在区间 (ak?1,ak] 中的样本观测值的个数为 nk ，nk 称为频数，nkn 称为频率。在每一个区间 (ak?1,ak] 上，以

到的一排长方形，称为频率直方图（见图2-1 ）。 nkn 为高度，作长方形。这样得ak?ak?1

１９

由于

区间(ak?1,ak]上频率直方图的面积 ?nkn(ak?ak?1) ?nkn ak?ak?1

= 样本落在区间(ak?1,ak]中的频率 ≈ 总体落在区间(ak?1,ak]中的概率 ???(x)dx = 区间(ak?1,ak]上?(x)曲线下的曲边梯形的面积 ， ak?1ak

所以，可以用频率直方图来近似估计总体分布的概率密度 ?(x)。

如果总体?是一个离散型随机变量，我们可以用下列方法来估计它的概率分布P{??xk}，k?1,2,? ：

设共进行了 n 次试验，取值为 xk 的样本观测值的个数（频数）为 nk。 由于 nkn = 样本取值为xk的频率 ≈ 总体取值为xk的概率 = P{??xk} ，所以，可以用 nkn 来近似估计总体的概率分布P{??xk}，k?1,2,? 。

§2.3 统计量

样本（X1,X2,?,Xn）的不含未知参数的函数，称为统计量。因为样本是随机变量，所以，作为样本的函数的统计量，也是随机变量。用样本观测值（x1,x2,?,xn）代入统计量的表达式，得到统计量的具体数值，称为统计量的观测值。

２０

常用的统计量有：

1n

样本均值 ??Xi ； ni?1

1n1n22样本方差 S??(Xi?)??Xi?2 ； ni?1ni?12

1n

样本标准差 S?S?(Xi?)2 ； ?ni?12

1nn2修正样本方差 S*?(X?)?S2 ； ?in?1i?1n?12

修正样本标准差 S*?S*?21nn2(X?)?S ； ?in?1i?1n?1

样本m阶（原点）矩 Xm1nm??Xi 。 ni?1

这里有一点要着重说明，在各种数理统计教科书中，关于“样本方差”和“样本标准差”的定义并不一致。在有些教科书中，定义

1n

样本方差 S?(Xi?)2 ； ?n?1i?12

样本标准差 S?1n

(Xi?)2 。 ?n?1i?1

22即把我们定义的修正样本方差S*，称为样本方差，记为S；把我们定义的修正样本

标准差S*，称为样本标准差，记为S。在阅读数理统计文献时，必须注意其中样本方差的定义，以免发生混淆。

用带统计功能的函数型电子计算器可以很方便地计算出统计量的值。常见的计算器有SHARP(夏普)、TRULY（信利）、CASIO（卡西欧）等型号。SHARP计算器和TRULY计算器的用法完全相同，CASIO计算器则与它们有所不同，而且CASIO计算器本身又有多种型号，用法也不尽相同。下面以SHARP和TRULY计算器为例，说明怎样用计算器来计算统计量的值。（同时对CASIO计算器与它们的不同之处，也在括号中稍加说明。）

（1） 进入统计状态

按

，进入统计状态，屏幕上出现 STAT 。（在 CASIO 计算器上，进入统计状态后，屏幕上出现 SD 。）

（2） 输入样本观测值（x1,

x2,?,xn）

输入数字x1x

2?? x

n。

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