2014年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

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４年全国初中数学联合竞赛２０１

试题及参考答案

第二试（Ａ）

２２

（（一、本题满分２设实数ａ，ｂ满足ａｂ＋１）＋０分）

２

）没有实数根；式Δ＝（４＝－２０＜０，－２－２

，若（即ａ＋则ａ、ｘ，＝（６，２）ｂ＝６，ａｂ＝２，ｂ是一ｙ）

２

这个方程的判别式Δ元二次方程ｔ－６ｔ＋２＝０的两根，２

）它有实数根．所以８＞０，＝（－６－８＝２

２２２２

（）＋ｂａ＋ｂ－２ａｂ６－２×２１１ａ

＝＝８．２＋２＝２２＝２２２

ａｂ２ａｂａｂ

）（求２＋的值

．０，＋＝４ｂｂ＋２ａ）ａ（ｂ＋１ｂ＝８，２

ａｂ

（如二、本题满分２５分）图，在平行四边形ＡＤ中，ＢＣＥ为对角线Ｂ且满足Ｄ上一点，

二、证明　由ＡＢＣＤ是平行四边形及已知条件知

ＣＤ＝∠ＡＣＢ，ＡＣ的延长∠Ｅ

线与△ＡＢＤ的外接圆交于点证明：Ｆ．ＦＥ＝∠ＡＦＢ．∠Ｄ

（设ｎ是整数，如果存在整数三、本题满分２５分）

３３３

则称ｎ具有性质Ｐ．ｘ，ｚ满足ｎ＝ｘ＋ｙ＋ｚ－３ｘｚ，ｙ，ｙ

ＣＤ＝∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＦ．∠Ｅ

又　Ａ、Ｂ、Ｆ、Ｄ四点共圆，∴　∠ＢＤＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＡＦＤ，

ＣＤ∽△ＤＡＦ，∴　△Ｅ

＝＝．∴　ＤＦＡＦＡＦ

又　∠ＥＤＦ＝∠ＢＤＦ＝∠ＢＡＦ，

哪些数具有性质Ｐ，哪在１、０１３、２０１４这四个数中，５、２些数不具有性质Ｐ？并说明理由．

第二试（Ｂ）

（同（卷第一题

．一、本题满分２０分）Ａ）（如图，二、本题满分２５分）已知Ｏ为△ＡＢＣ的外心，ＡＢ＝

ＤＦ∽△ＢＡＦ，∴　△Ｅ

故　∠ＤＦＥ＝∠ＡＦＢ．三、解　取ｘ＝１，ｚ＝０，ｙ＝

３３３

可得　１＝１＋０＋０－３×１×０×０，

Ｃ，ＢＣ的外接圆上一ＡＤ为△Ｏ点，过点Ａ作直线Ｏ垂Ｄ的垂线，若Ｂ求足为Ｈ．Ｄ＝７，ＤＣ＝３，

所以１具有性质Ｐ．取ｘ＝ｙ＝２，ｚ＝１，

３３３可得　５＝２＋２＋１－３×２×２×１，

ＡＨ．

（三、本题满分２５分）

３３

如果存在整数ｘ，设ｎ是整数，ｚ满足ｎ＝ｘ＋ｙｙ，

所以５具有性质Ｐ．

记ｆ（为了一般地判断哪些数具有性质Ｐ，ｘ，ｚ）ｙ，

３３３

则＋ｙ＋ｚ－３ｘｚ，＝ｘｙ

３３

＝（－３ｘ，ｚ）ｘ＋ｙ）＋ｚ－３ｘｘ＋ｙ）ｘｚ　ｆ（ｙ，ｙ（ｙ３

（＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）－３ｘ＋ｙ）ｚ（ｘ＋ｙ＋ｚ）－３ｘｘ＋ｙｙ（

则称ｎ具有性质Ｐ．＋ｚ－３ｘｚ，ｙ

３

（）试判断１、１２、３是否具有性质Ｐ；

（）…、在１、０１３、２０１４这２０１４个连续整数２２、３、２中，不具有性质Ｐ的数有多少个？

＋ｚ）

３

（（ｚ＋ｘ＋ｙ＋ｚ）－３ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｚｘ）＝（ｙ＋ｙ

参考答案

第二试（Ａ）

一、解　由已知条件可得

２２２

））ａｂ＋（ａ＋ｂ＝４０，ａｂ＋（ａ＋ｂ＝８．

＝＝

（２２２

（ｚ－ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｚｘ）ｙ－ｙ

２

（２２２

［（］ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ－ｙ）＋（ｚ）＋（ｚ－ｘ）．ｙ－

２

即　ｆ（ｘ，ｚ）ｙ，＝

（２２２

［（］①ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ－ｙ）＋（ｚ）＋（ｚ－ｘ）ｙ－

２

设ａ＋ｂ＝ｘ，ａｂ＝ｙ，

２２则有　ｘ＋ｙ＝４０，ｘ＋ｙ＝８，

不妨设ｘ≥ｙ≥ｚ，

如果　ｘ－ｙ＝１，ｚ＝０，ｘ－ｚ＝１，ｙ－即　ｘ＝ｚ＋１，ｚ，ｙ＝则有　ｆ（ｘ，ｚ）＝３ｚ＋１；ｙ，

））联立解得　（或（ｘ，＝（２，６ｘ，＝（６，２．ｙ）ｙ），即ａ＋则ａ、若（ｘ，＝（２，６）ｂ＝２，ａｂ＝６，ｂ是一ｙ）

２

元二次方程ｔ但这个方程的判别－２ｔ＋６＝０的两根，

ｓ．ｃｂｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔｓｈｉｎａｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎｚｘｓｚｘｓ　　　　　　　　　　　　　　　　电子邮箱：＠ｃ　　　　网址：ｐｊ

·３２·

数学竞赛之窗

如果　ｘ－ｙ＝０，ｚ＝１，ｘ－ｚ＝１，ｙ－即　ｘ＝ｙ＝ｚ＋１，则有　ｆ（ｘ，ｚ）ｚ＋２；＝３ｙ，

如果　ｘ－ｙ＝１，ｚ＝１，ｘ－ｚ＝２，ｙ－即　ｘ＝ｚ＋２，ｚ＋１，ｙ＝）（则有　ｆ（ｘ，ｚ）ｚ＋１．＝９ｙ，

形如３由此可知，的ｋ＋１或３ｋ＋２或９ｋ（ｋ为整数）数都具有性质Ｐ．

因此，４都具有性质Ｐ．１，５和２０１

若２则存在整数ｘ，３具有性质Ｐ，３ｚ使得２０１０１ｙ，

３

（注意到ｚ＋ｚ＝（．ｘ＋ｙ＋ｚ）－３（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｘ）ｙ＋ｙ

于是有

３

（（，（ｚ＋ｘ＋ｙ＋ｚ）－３ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｚｘ）９｜ｙ＋ｙ

这是不可能的，即　９３，｜所以３不具有性质Ｐ．

３３３

（）记ｆ（ｘ，ｚ）＝ｘ＋ｙ＋ｚ－３ｘｚ，２ｙ，ｙ

则　ｆ（ｘ，ｚ）ｙ，

３３＝（－３ｘ＋ｙ）＋ｚ－３ｘｘ＋ｙ）ｘｚｙ（ｙ

３

（－３＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）－３ｘ＋ｙ）ｚ（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｘ＋ｙｙ（

＋ｚ）

３

（（ｚ＋ｘ＋ｙ＋ｚ）－３ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｚｘ）＝（ｙ＋ｙ

（（，从而可得３故３于是０１３，３２ｘ＋ｙ＋ｚ），ｘ＋ｙ＋ｚ）｜｜｜

３

３

（，有９即ｚ＋ｚｘ＋ｙ＋ｚ）－３（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｘ）｜（ｙ＋ｙ

＝＝

（２２２

（ｚ－ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ＋ｙ＋ｚ－ｘｚｘ）ｙ－ｙ

２

（２２２

［（］ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ－ｙ）＋（ｚ）＋（ｚ－ｘ）．ｙ－

２

矛盾，所以２但２０１３＝９×２２３＋６，３，０１３不具有９２０１｜性质Ｐ．

第二试（Ｂ）

一、同（卷第一题．Ａ）

二、解　延长Ｂ延长ＯＤ交⊙Ｏ于点Ｎ，Ｄ交⊙Ｏ于点Ｅ，由题意得

２２

［（即　ｆ（ｘ，ｚ）ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ－ｙ）＋（＝（ｙ，ｙ－ｚ）

２

２］＋（ｚ－ｘ）

①

不妨设ｘ≥ｙ≥ｚ，

如果　ｘ－ｙ＝１，ｚ＝０，ｘ－ｚ＝１，ｙ－即　ｘ＝ｚ＋１，ｚ，ｙ＝则有　ｆ（ｘ，ｚ）ｚ＋１；＝３ｙ，

如果　ｘ－ｙ＝０，ｚ＝１，ｘ－ｚ＝１，ｙ－即　ｘ＝ｙ＝ｚ＋１，则有　ｆ（ｘ，ｚ）＝３ｚ＋２；ｙ，

如果　ｘ－ｙ＝１，ｚ＝１，ｘ－ｚ＝２，ｙ－即　ｘ＝ｚ＋２，ｚ＋１，ｙ＝）；（则有　ｆ（ｘ，ｚ）ｚ＋１＝９ｙ，

由此可知，形如３的ｋ＋１或３ｋ＋２或９ｋ（ｋ为整数）数都具有性质Ｐ．

又若

３

（ｚｘ，ｚ）＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）－３（ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ３｜ｆ（ｙ，ｙ＋ｙ

Ｅ＝∠ＯＤＢ＝∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＣ＝∠ＣＤＥ，∠ＮＤ

Ｅ为∠ＢＤＣ的平分线．∴　Ｄ

点Ｃ、又点Ｄ在⊙Ｏ的半径ＯＥ上，Ｎ在⊙Ｏ上，

Ｎ关于直线ＯＥ对称，ＤＮ＝ＤＣ．∴　点Ｃ、

延长ＡＨ交⊙Ｏ于点Ｍ，∵　Ｏ为圆心，ＡＭ⊥

ＯＤ，∴　点Ａ、Ｍ关于直线ＯＤ对称，ＡＨ＝ＭＨ．

因此，ＭＮ＝ＡＣ＝ＡＢ．

又　∠ＦＮＭ＝∠ＦＡＢ，ＢＡ＝∠ＦＭＮ，∠Ｆ

ＢＦ≌△ＮＭＦ，∴　△Ａ

∴　ＭＦ＝ＢＦ，ＦＮ＝ＡＦ．

因此，ＡＭ＝ＡＦ＋ＦＭ＝ＦＮ＋ＢＦ＝ＢＮ＝ＢＤ＋ＤＮ＝ＢＤ＋ＤＣ＝７＋３＝１０，

即　２ＡＨ＝１０，∴　ＡＨ＝５．

三、解　取ｘ＝１，ｚ＝０，ｙ＝

可得　１＝１＋０＋０－３×１×０×０，

３

３

３

，＋ｚｘ）

３

，（则　３ｘ＋ｙ＋ｚ）｜

，（从而　３ｘ＋ｙ＋ｚ）｜

３

进而可知　９ｘ，ｚ）＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）－３（ｘ＋ｙ＋｜ｆ（ｙ，

∴　１具有性质Ｐ；取ｘ＝ｙ＝１，ｚ＝０，

３３３

可得　２＝１＋１＋０－３×１×１×０，

（ｚ＋ｚ）ｘｚｘ）．ｙ＋ｙ

（综合可知：当且仅当ｎ＝９ｋ＋３或ｎ＝９ｋ＋６ｋ为整数）时，整数ｎ不具有性质Ｐ．

又　２４＝９×２２３＋７，０１

…、所以，在１、２、３、２０１３、２０１４这２０１４个连续整数中，不具有性质Ｐ的数共有２２４×２＝４４８个．

∴　２具有性质Ｐ；

则存在整数ｘ，若３具有性质Ｐ，ｚ使得ｙ，

３

（，（ｚ＋ｘ＋ｙ＋ｚ）－３ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘｚｘ）３＝（ｙ＋ｙ３

（，故　３（，从而可得　３ｘ＋ｙ＋ｚ）ｘ＋ｙ＋ｚ）｜｜

（北京数学会普及委员会提供）

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