高中数学竞赛解答题

f(x) sin2x xcosx sin x sin x

4 4 ． 1．（本题满分16分）

已知函数

⑴求f(x)的最小正周期和f(x)的值域；

0 x 0

x x2 为f(x)的一个零点，求f(2x0)的值．

0⑵若

f(x) sin2x xcosx sin x sin x

4 4 解：⑴

1 cos2x 2x xxx x 2

1

2x cos2x

2

1

2sin 2x

6 2．…………………………………………………..4分

所以f(x)的最小正周期T ；……………………………..……….…..5分

35

1 sin 2x 1 2,2 f(x)6 ．…………………..7分 由，得的值域为 1 1 f(x) 2sin 2x sin 2x0

6 2，由题设知f(x0) 06 4，….8分 ⑵

由

0 x0

2

6

2x0

6

5 sin 2x0 0 2x0 0

6 6，结合 6知6，

cos 2x0

6 ．…………………………………………………..10分 可得

sin2x0 sin 2x0 sin 2x0 cos cos 2x0 sin 6 6 6 66

6 11

42，………………………...………..12分 cos2x0 cos 2x0 cos 2x cos sin2x 0 0 sin6 6 6 66

6 11

……………………………..………..14分 42

sin 4x0 sin2x0cos 2x0 cos2x0sin 2x0

6 6 6

1

4 1

f(2x0) 2sin 4x0 21 6 2 2．……….……..16分

高一数学竞赛试题答案 第1页（共8页）

|x u|

f(x) 32．（本题满分18分）已知函数，g(x) x|x u| 6u 21

2

(g(x)) mg(x) 7 0有3个不同的实根，求实数m的值； u 4x（Ⅰ）当时，关于的方程

（Ⅱ）若对任意的s ( ,3]，总存在t [3, )，使得f(s) g(t)成立，求实数u的取值范围.

2

解：（Ⅰ）设t g(x)，t mt 7 0，作出函数t g(x)的图象

167

t

3，另一个3可以符合题意 当t 3时，求出

当t 7时，求出m 8，另一个t 1可以符合题意

m

当

0时，m

t 不合题意 综上，

m

16

3或者m 8 ——8分

（Ⅱ）设函数f(x),g(x)的值域分别为F,G，根据题意有F G

g g(3) 3u 12 0，可以符合题意

当u 3时，F [1, )，min

u 3

F [3, )，gmin g(u) 6u 21 g(3) 9u 30， u 3当时，

此时需6u 21 3

u 3

，记w u 3 0，则6w 3 3，即0 w 1或w 2即3 u 4或

w

u 5综上，u 4或u 5 --------18分

2

f(x) x bx 3，对于给定的实数b，f(x)在区间 b 2,b 2 上有3．（本题满分17分）设函数

最大值M(b)和最小值m(b)，记g(b) M(b) m(b)．

⑴求g(b)的解析式；

⑵问b为何值时，g(b)有最小值？并求出g(b)的最小值．

b b2 bf(x) x 3 x 2 4，抛物线开口向上，其对称轴方程为 2，下面就对称轴与区间解：⑴

2

b 2,b 2 端点的相对位置分段讨论：……………….………………………..1分

①当

0 b

b b 4b

b 2 b 2(b 2) (b 2)

2 2 3时，2且，

9b2

g(b) b2 6b 4m(b) 3 2

44．此时M(b) f(b 2) 2b 6b 1，．…3分 b b 4b

b 0b 2 b 2(b 2) (b 2)

2 2 2②当3时，且，

b29

g(b) b2 6b 4m(b) 3 2

44．此时M(b) f(b 2) 2b 6b 1，．…5分

高一数学竞赛试题答案 第2页（共8页）

③当

b

4b

b 2b 2,b 2 3时，2，f(x)在区间 上递增，

22

此时M(b) f(b 2) 2b 6b 1，m(b) f(b 2) 2b 6b 1．g(b) 12b．…7分

④当

b

4b

b 2b 2,b 2 3时，2，f(x)在区间 上递减，

22

此时M(b) f(b 2) 2b 6b 1，m(b) f(b 2) 2b 6b 1．g(b) 12b．…9分

4

12b, b 3;

9b2 6b 4, 4 b 0; 43g(b)

9 b2 6b 4, 0 b 4; 43 4

12b, b .

3 综上所得………………………………………………10

分

⑵当

b

4 4g(b) 12b g 16

3 3时， ；…………………………………………11分

49

b 0g(b) b2 6b 4

4当3时， 递减，g(b) g(0) 4；…………..….……13分 0 b

49

g(b) b2 6b 4

3时， 4递增，g(b) g(0) 4；…………....………15分

当

当

b

4 4g(b) 12b g 16

3 3时， ．……………………………………..………16分

综上所述，当b 0时，

g(b) min 4．…………..…………………………………17分

f(x) sin x sin( x )

3 4．（本题满分16分）已知函数

（Ⅰ）若

x

6是函数f(x)的一个零点，2 12，求f(x)的最大值以及此时x的取值集合；

0, f(x)（Ⅱ）若 0，函数在区间 2 上是单调函数，求 的取值范围.

f(x) x )f() 06，6解：

（Ⅰ）得到 6k 1,k Z，则 7

2 2k

f(x) x

){x|x ,k Z}

f 6217max即，——8分

（Ⅱ）6

-

x

6

2

6

2，得到

0

4

3 -----------16分

高一数学竞赛试题答案 第3页（共8页）

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5.(本题满分18分)定义在正实数集上的函数f(x)满足下列条件：

m f(a) 1f(x) mf(x)．（0 a 1）x Ram①存在常数，使得；②对任意实数, 当时，有

⑴求证：对于任意正数x,y，f(xy) f(x) f(y)；

⑵证明：f(x)在正实数集上单调递减； ⑶若不等式

⑴证明：

8

f log2a 4 x 2 f loga(4 x) 3

恒成立，求实数a的取值范围．

x,y均为正数，且0 a 1，根据指数函数性质可知，总有实数m,n使得

x am,y an，于是f xy faman fam n m n f a m n，..…2分

又

f x f y f(am) f(an) mf(a) nf(a) m n

， f(xy) f(x) f(y)..5分

x xtt 1t a( 0)．…………….7分 x,x R,x x121212⑵证明：任设，可令，

则由⑴知f x1 f x2 f x2t f x2 f x2 f t f x2

f t f a f a 0

f x1 f x2

，………………………………………………………..9分

即

． f(x)在正实数集上单调递减；..……………………………..10分

ft2 2 f 8t 3log(4 x) ta⑶解：令，原不等式化为，其中t 0．

x

f

f(x) f(y) f(x) f(y 1) y 且f(a) 1(0 a 1)，

t2 2 3

f f a 8t

不等式可进一步化为 ，……………………….……..12分

t2 2

a3

8t又由于单调递减，对于t 0恒成立．……………………..13分

2

t 21 8t8 而，………………….……….…..15分

2

t 2

8t min t 且当时．……………………………………..16分

2

a3

0 a 1，终得

第4页（共8页） 0 a

．…………………………..18分

1 3

2x2 bx 0cos , (,)

444. 6.（本题满分16分）已知关于x的方程的两根为sin 和

（Ⅰ）求实数b的值；

sin 1 cos

sin 的值. （Ⅱ）求1 cos

解：（Ⅰ）

sin ，cos 为方程

2x2 bx

1

04的两根，

b2 2 0　 (1)

b

sin cos 　(2)

2

1

sin cos 　 (3) 8 则有：， ---------------------4分

b21

1

4， 由（2）、（3）有：4

解得：b 5 2 0，

sin cos )

04又， b ---------------------8分

sin 1 cos 1 sin cos

sin 1 sin

cos ---------------------12分

（Ⅱ）1 cos

sin cos

) 0 sin cos

4，

且，

sin 1 cos 1 sin cos 2

8 1

cos sin 1 sin cos ----16分

1

f(x) a 9，函数7.（本题满分17分）设实数

（

Ⅰ）当a 1时，判断f(x)的单调性；

上的任意三个实数r、s、t，都存在以（Ⅱ）求实数a的范围，使得对于区间 f(r)、f(s)、f(t)为边长的三角形.

高一数学竞赛试题答案 第5页（共8页）