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2015年北京市高中一年级初赛试题解答

上传者:马万云
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上传时间:2015-04-15
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2015年北京市高中一年级初赛试题解答

2015年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛

试题参考解答

(2015年4月12日8:30-10:30)

选择题答案1A

2D

3C

4A

5C

6B

填空题答案

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一、选择题(满分36分,每小题只有一个正确答案,请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方,答对得6分,答错或不答均计0分)

1.设集合A={a2+2015|a∈N},B={b2+15|b∈N},则A∩B中的元素个数为(A)6.答:A.

解:由a2+2015=b2+15,得,b2 a2=(b+a)(b a)=2000=24×53.因为

2000=1×2000=2×1000=4×500=5×400=8×250=10×200

=16×125=20×100=25×80=40×50

又b>a且b+a与b a同奇偶,所以只有

2×1000=4×500=8×250=10×200=20×100=40×50

六组有正整数解.

2.若二次函数y=f(x)的图像经过原点,且对任意的x∈R都有

(B)7.

(C)8.

(D)9.

f(x+2)=f(x)+x+2恒成立,则f(x)的解析式为

11

(A)f(x)= x2+x.

4211

(C)f(x)= x2 x.

42

(B)f(x)=(D)f(x)=

121

x x.42121x+x.42

答:D.

解:依题意可设f(x)=ax2+bx,其中a,b为常数.因为所以

f(x+2)=f(x)+x+2

a(x+2)2+b(x+2)=ax2+bx+x+2

2015年北京市高中一年级数学竞赛初赛试题解答

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化简得4ax+4a+2b=x+2.

4a=111

对比系数可得 ,于是a=,b=.

42 4a+2b=2所以

f(x)=

121

x+x.42

A

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3.如图,在4×5的正方形网格中,点A、B、C、D都是格点,AB与CD相交于点P.则cos∠BPD的值等于

(A

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.(B

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.(C

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(D

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C答:C.

解:如图,取格点E,连接EA,EB,则

∠EAD=∠CDA=45º,所以AE//CD.

所以

∠BPD=∠BAE.易见

∠AEB=90º,AE

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=,AB

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因此cos∠

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BPD=

AE==AB2

x 4x+3,x≤0

4.已知函数f(x)= 2,不等式f(2x+a)>f(2a x)在[a 1,a+1]上

x 2x 1,x>0

恒成立,则实数a的取值范围是

33111

(A)( ∞, ).(B)( , .(C)[ ,.

22222答:A.

1

(D)(,+∞).

2

解:由题意可知,函数f(x)在R上单调递减,要想使“不等式f(2x+a)>f(2a x)在[a 1,a+1]上恒成立”,只需x∈[a 1,a+1]时,2x+a<2a x总成立,即x<只需a+1<

a

.于是,3

a3,所以a< .32

5.二次三项式f(x)=x2+ax+b具有两个实根t1和t2,甲将f(x)的一次项系数变为

a+t1,将常数项变为b t12,构成二次三项式f1(x);乙将f(x)的一次项系数变为a t2,将常数项变为2b,构成二次三项式f2(x).则(A)f1(x)具有实根,f2(x)没有实根(C)f1(x)具有实根,f2(x)具有实根答:C.

解:根据韦达定理,由t1,t2是二次三项式f(x)=x2+ax+b的两个实根,有a= t1 t2,

2015年北京市高中一年级数学竞赛初赛试题解答

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(B)f1(x)没有实根,f2(x)具有实根(D)f1(x)没有实根,f2(x)没有实根

b=t1t2,则f1(x)=x2 t2x+(t1t2 t12),方程f1(x)=0的判别式为Δ=t22 4t1t2+4t12=(2t1 t2)2≥0,这意味着f1(x)具有实根.

而f2(x)=x2 (t1+2t2)x+2t1t2,方程f2(x)=0的判别式为Δ=t12 4t1t2+4t22=(t1 2t2)2≥0,这意味着f2(x)具有实根.

1

6.已知函数f(x)=1+,又f1(x)=f(x),f2(x)=f(f(x)),f3(x)=f(f(f(x))),则

x

f1(2015)·f2(2015)·f3(2015)

的整数部分是

(A)2.答:B.

1x+12016

解:由f(x)=1+,得f1(x)=f(x)=,,所以f1(2015)=

xx2015

2016 4031

f2(2015)=f(f1(2015))=f , =

20152016

4031 6047

f3(2015)=f(f2(2015))=f . =

20164031

20164031604760472

所以f1(2015) f2(2015) f3(2015)=××==3.

20152016403120152015

(B)3.(C)4.(D)5.

因此f1(2015) f2(2015) f3(2015)的整数部分是3.

二、填空题(满分64分,每小题8分,请将答案填入第1页指定地方)1.在直角梯形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90º,AB=3,AD=4,A

DC=5,如图,求内接长方形PMND的最大面积.

答:12.

解:设PM=x,MN=y,则

P

y4

,即y=2(5 x).=

5 x5 3

长方形PMND的面积S(x)=2x(5 x),所以

S(x)= 2(x 2.5)2+12.5

而x∈[3,5),所以当x=3时,S(x)有最大值,maxS(x)=S(3)=12.2.记2015!=1×2×3×…×2015,求答案:1.解:

111

++ +

log22015!log32015!log20152015!

111

的值.++ +

log22015!log32015!log20152015!

=log2015!2+log2015!3+ +log2015!2015=log2015!2015!=

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1.

2015年北京市高中一年级数学竞赛初赛试题解答第3页共5页

3.在△ABC中,BC=a,AC=b,在∠C的平分线CE的反向延长线上取点D,使得∠ADB=

1

∠ACB,求线段CD的长.

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2

解:记∠ACE=∠BCE=∠ADB=θ,则

∠CAD+∠ADC=θ=∠ADC+∠BDC,

由此得∠CAD=∠BDC.

考虑到∠ACD=180º θ=∠BCD,

A

B

所以△ACD∽△DCB.因此,AC:CD=CD:BC.

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所以CD==4.正数x,y,z满足x2+y2=9,y2+z2=16,y2=xz,确定xy+yz的值.答:12.

解:由第一个方程可以得出,数x,y,3是直角为D的直角三角形ABD的直角边和斜边;由第二个方程得出,数y,z和4是直角为D的直角三角形BCD的直角边和斜边;由第三个方程得出,数y是数x和z的比例中项.

根据在直角三角形中比例线段的逆定理,得∠ABC是直角上述关系可以构成右图.则

xy+yz=(x+z)y=2S△ABC=3×4=12.

5.写出数22015的数字和S1,再写出数S1的数字和S2,依次这样写下去,直写到

Sk 1的数字和Sk是一位数a为止.确定a的值.

答:5.

解:注意到对自然数n和它的数字和S(n)满足n≡S(n)(mod9).方法1.22015=(26)335·25≡1·25≡32≡5(mod9),所以a=5.

方法2.由于8≡ 1(mod9),因此22015=8671·22≡( 1)671·4≡ 4≡5(mod9),所以a=5.6.由正五边形ABCDE的对角线相交构成新的正五边形A'B'C'D'E'(如图).正五边形ABCDE的面积为4平方厘米,试确定正五边形A'B'C'D'E'的面积是多少平方厘米.

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答:14 解:设五边形ABCDE的边长为a,

五边形A'B'C'D'E'的边长为x,易得A'B=a x,且△BB'A'∽△BCA',得(a x)2=ax,即

A

B

2

D

xxx

()2 3 +1=0(<1),

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aaa

2

xSA′B′C′D′E′ x 解得=

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==, =SABCDE aa

因为SABCDE=4,所以SA’B’C’D’E’

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=14 .

2015年北京市高中一年级数学竞赛初赛试题解答

第4页

共5

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7.一串数a1,a2,…,an,…满足:a1=10,an+1=an+最接近的整数.

答:64.

2

解:a2015

2

1

,n∈N.试确定与a2015an

1 11122= a2014+=a+2+=a+2 2++ 20142013222

a2014 a2014a2013a2014

=a12+2014 2+

1111

++…+++,2222a1a2a2013a2014

2014

<4128+21=4149<64.52.2

10

2

一方面a2015>a12+2×2014=4128>4096=642,2

另一方面,a2015<a12+2×2014+

所以64<a2015<64.5,所以与a2015最接近的整数是64.8.已知动点P在边长为3的正方形ABCD内部(包括边界),且满足PA:PB=2:1.试确定点P的轨迹与正方形的边所围成的较小一块图形的面积.

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答:

2π 3

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解:若P在边AB上的E点,则AE=2,EB=1.由条件,对于△APB,总有

PAAE

=,即PE是∠APB的平分线.PBBE

又因为∠APB的内、外角平分线的夹角为90º,画出∠APB的外角平分线交直线

AB于点F,则∠EPF=90º,且有即F是定点.

PAAF

,得AF=2BF,=

PBBF

于是点P在以EF为直径的圆上.所以,点P的轨迹为以EF的中点O为圆心、半径为2的圆在正方形内的弧段.与正方形围成的较小一块图形的面积就是图中阴影部分的面积.

综上,AE=2,EB=1,AF=6,BF=3,EF=4,EO=OF=2,∠EPF=90º.当点P运动到G时,由于GA=2GB,所以∠GAB=30º,因此,∠GOE=60º.

1

扇形OEG的面积是半径OE=2的圆面积的.

6

因此所求图形面积=扇形OEG的面积 △OBG的面积

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112π= π 22 1=

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6232015年北京市高中一年级数学竞赛初赛试题解答第5页共5页

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