2015年北京市高中一年级初赛试题解答

2015年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛

试题参考解答

（2015年4月12日8:30-10:30）

选择题答案1A

2D

3C

4A

5C

6B

填空题答案

一、选择题（满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第1页指定地方，答对得6分，答错或不答均计0分）

1．设集合A={a2+2015|a∈N}，B={b2+15|b∈N}，则A∩B中的元素个数为（A）6．答：A．

解：由a2+2015=b2+15，得，b2 a2=(b+a)(b a)=2000=24×53．因为

2000=1×2000=2×1000=4×500=5×400=8×250=10×200

=16×125=20×100=25×80=40×50

又b＞a且b+a与b a同奇偶，所以只有

2×1000=4×500=8×250=10×200=20×100=40×50

六组有正整数解．

2．若二次函数y=f(x)的图像经过原点，且对任意的x∈R都有

（B）7．

（C）8．

（D）9．

f(x+2)=f(x)+x+2恒成立，则f(x)的解析式为

11

（A）f(x)= x2+x．

4211

（C）f(x)= x2 x．

42

（B）f(x)=（D）f(x)=

121

x x．42121x+x．42

答：D．

解：依题意可设f(x)=ax2+bx，其中a,b为常数．因为所以

f(x+2)=f(x)+x+2

a(x+2)2+b(x+2)=ax2+bx+x+2

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化简得4ax+4a+2b=x+2．

4a=111

对比系数可得 ，于是a=,b=.

42 4a+2b=2所以

f(x)=

121

x+x．42

A

3．如图，在4×5的正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于点P．则cos∠BPD的值等于

（A

.（B

.（C

）

（D

C答：C．

解：如图，取格点E，连接EA，EB，则

∠EAD=∠CDA=45º，所以AE//CD.

所以

∠BPD=∠BAE．易见

∠AEB=90º，AE

=，AB

．

因此cos∠

BPD=

AE==AB2

x 4x+3,x≤0

4．已知函数f(x)= 2，不等式f(2x+a)>f(2a x)在[a 1,a+1]上

x 2x 1,x>0

恒成立，则实数a的取值范围是

33111

（A）( ∞, )．（B）( , ．（C）[ ,．

22222答：A．

1

（D）(,+∞)．

2

解：由题意可知，函数f(x)在R上单调递减，要想使“不等式f(2x+a)>f(2a x)在[a 1,a+1]上恒成立”，只需x∈[a 1,a+1]时，2x+a＜2a x总成立，即x<只需a+1<

a

．于是，3

a3，所以a< .32

5．二次三项式f(x)=x2+ax+b具有两个实根t1和t2，甲将f(x)的一次项系数变为

a+t1，将常数项变为b t12，构成二次三项式f1(x)；乙将f(x)的一次项系数变为a t2，将常数项变为2b，构成二次三项式f2(x)．则（A）f1(x)具有实根,f2(x)没有实根（C）f1(x)具有实根,f2(x)具有实根答：C．

解：根据韦达定理，由t1,t2是二次三项式f(x)=x2+ax+b的两个实根，有a= t1 t2，

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（B）f1(x)没有实根,f2(x)具有实根（D）f1(x)没有实根,f2(x)没有实根

b=t1t2，则f1(x)=x2 t2x+(t1t2 t12)，方程f1(x)=0的判别式为Δ=t22 4t1t2+4t12=(2t1 t2)2≥0，这意味着f1(x)具有实根．

而f2(x)=x2 (t1+2t2)x+2t1t2，方程f2(x)=0的判别式为Δ=t12 4t1t2+4t22=(t1 2t2)2≥0，这意味着f2(x)具有实根．

1

6．已知函数f(x)=1+，又f1(x)=f(x)，f2(x)=f(f(x))，f3(x)=f(f(f(x)))，则

x

f1(2015)·f2(2015)·f3(2015)

的整数部分是

（A）2．答：B．

1x+12016

解：由f(x)=1+，得f1(x)=f(x)=，,所以f1(2015)=

xx2015

2016 4031

f2(2015)=f(f1(2015))=f , =

20152016

4031 6047

f3(2015)=f(f2(2015))=f . =

20164031

20164031604760472

所以f1(2015) f2(2015) f3(2015)=××==3.

20152016403120152015

（B）3．（C）4．（D）5．

因此f1(2015) f2(2015) f3(2015)的整数部分是3．

二、填空题（满分64分，每小题8分，请将答案填入第1页指定地方）1．在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90º，AB=3，AD=4，A

DC=5，如图，求内接长方形PMND的最大面积．

答：12．

解：设PM=x，MN=y，则

P

y4

，即y=2(5 x)．=

5 x5 3

长方形PMND的面积S(x)=2x(5 x)，所以

S(x)= 2(x 2.5)2+12.5

而x∈[3,5)，所以当x=3时，S(x)有最大值，maxS(x)=S(3)=12．2．记2015!=1×2×3×…×2015，求答案：1．解：

111

++ +

log22015!log32015!log20152015!

111

的值．++ +

log22015!log32015!log20152015!

=log2015!2+log2015!3+ +log2015!2015=log2015!2015!=

1.

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3．在△ABC中，BC=a，AC=b，在∠C的平分线CE的反向延长线上取点D，使得∠ADB=

1

∠ACB，求线段CD的长．

2

解：记∠ACE=∠BCE=∠ADB=θ，则

∠CAD+∠ADC=θ=∠ADC+∠BDC，

由此得∠CAD=∠BDC．

考虑到∠ACD=180º θ=∠BCD，

A

B

所以△ACD∽△DCB．因此，AC:CD=CD:BC．

所以CD==4．正数x,y,z满足x2+y2=9，y2+z2=16，y2=xz，确定xy+yz的值．答：12．

解：由第一个方程可以得出，数x,y,3是直角为D的直角三角形ABD的直角边和斜边；由第二个方程得出，数y,z和4是直角为D的直角三角形BCD的直角边和斜边；由第三个方程得出，数y是数x和z的比例中项．

根据在直角三角形中比例线段的逆定理，得∠ABC是直角上述关系可以构成右图.则

xy+yz=(x+z)y=2S△ABC=3×4=12．

5．写出数22015的数字和S1，再写出数S1的数字和S2，依次这样写下去，直写到

Sk 1的数字和Sk是一位数a为止．确定a的值．

答：5．

解：注意到对自然数n和它的数字和S(n)满足n≡S(n)(mod9)．方法1．22015=(26)335·25≡1·25≡32≡5(mod9)，所以a=5．

方法2．由于8≡ 1(mod9)，因此22015=8671·22≡( 1)671·4≡ 4≡5(mod9)，所以a=5．6．由正五边形ABCDE的对角线相交构成新的正五边形A'B'C'D'E'（如图）.正五边形ABCDE的面积为4平方厘米，试确定正五边形A'B'C'D'E'的面积是多少平方厘米．

答：14 解：设五边形ABCDE的边长为a，

五边形A'B'C'D'E'的边长为x，易得A'B=a x，且△BB'A'∽△BCA'，得(a x)2=ax，即

A

B

2

D

xxx

()2 3 +1=0(<1)，

aaa

2

xSA′B′C′D′E′ x 解得=

==， =SABCDE aa

因为SABCDE=4，所以SA’B’C’D’E’

=14 ．

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7．一串数a1,a2,…,an,…满足：a1=10，an+1=an+最接近的整数．

答：64．

2

解：a2015

2

1

,n∈N．试确定与a2015an

1 11122= a2014+=a+2+=a+2 2++ 20142013222

a2014 a2014a2013a2014

=a12+2014 2+

1111

++…+++,2222a1a2a2013a2014

2014

＜4128+21=4149＜64.52．2

10

2

一方面a2015＞a12+2×2014=4128＞4096=642，2

另一方面，a2015＜a12+2×2014+

所以64＜a2015＜64.5，所以与a2015最接近的整数是64．8．已知动点P在边长为3的正方形ABCD内部（包括边界），且满足PA:PB=2:1．试确定点P的轨迹与正方形的边所围成的较小一块图形的面积．

答：

2π 3

解：若P在边AB上的E点，则AE=2，EB=1.由条件，对于△APB，总有

PAAE

=,即PE是∠APB的平分线．PBBE

又因为∠APB的内、外角平分线的夹角为90º，画出∠APB的外角平分线交直线

AB于点F，则∠EPF=90º，且有即F是定点．

PAAF

，得AF=2BF，=

PBBF

于是点P在以EF为直径的圆上．所以，点P的轨迹为以EF的中点O为圆心、半径为2的圆在正方形内的弧段.与正方形围成的较小一块图形的面积就是图中阴影部分的面积．

综上，AE=2，EB=1，AF=6，BF=3，EF=4，EO=OF=2，∠EPF=90º．当点P运动到G时，由于GA=2GB，所以∠GAB=30º，因此，∠GOE=60º．

1

扇形OEG的面积是半径OE=2的圆面积的．

6

因此所求图形面积=扇形OEG的面积 △OBG的面积

112π= π 22 1=

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