每周练习3.15

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上传时间：2015-04-15
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每周练习3.15

1．已知函数f(x)＝x＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

13122．已知函数f(x)＝－x＋cx＋d有极值． 32

(1)求c的取值范围；

12(2)若f(x)在x＝2处取得极值，且当x<0时，f(x)<＋2d恒成立，求d的取值范围． 6

3、已知函数f(x)＝－x＋3x＋9x＋a，

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

4、已知函数f(x)＝xln(1＋x)－a(x＋1)，其中a为实常数．

(1)当x∈[1，＋∞)时，f′(x)＞0恒成立，求a的取值范围；

ax(2)求函数g(x)＝f′(x)－的单调区间． 1＋x

323

5、若复数z＝1＋i，求实数a，b使得az＋2b·z＝(a＋2z).

k26、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x(k≥0)．当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))2

处的切线方程．

x27、设函数f(x)＝－(a＋1)x＋4ax＋b，其中a，b∈R. 3

1(1)若函数f(x)在x＝3处取得极小值，求a，b的值； 2

(2)求函数f(x)的单调递增区间；

(3)若函数f(x)在(－1,1)内有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．

8、已知函数f(x)＝x＋ax－3x(a∈R)．

(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

1(2)若x＝是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在[－a,1]上的最大值； 3

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．

3232

?9、计算??

＋1001－i5?2?1＋i20?＋??－?. ?1＋i???2?

10、实数m分别取什么值时，复数z＝(m＋5m＋6)＋(m－2m－15)i

(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；

(3)对应的点在x轴上方？

11、在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1＋2i,3－5i.求另外两个顶点C，D对应的复数．

z212、已知z是复数，z＋2i均为实数(i为虚数单位)，对于复数w＝(z＋ai)，当2－i

a为何值时，w为

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

13、已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．

(1)求复数z；

(2)若ω＝

14、已知复数z满足|z|＝2，z的虚部为2，z所对应的点A在第一象限．

(1)求z；

(2)若 z，z，z－z在复平面上对应的点分别为A，B，C，求cos∠ABC.

1215、在曲线y＝x(x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围成的面积为，12

试求切点A的坐标以及切线方程．

222zω的模|ω|. 2＋i

16、已知a<2，函数f(x)＝(x＋ax＋a)e.

(1)当a＝1时，求f(x)的单调递增区间；

(2)若f(x)的极大值是6·e，求a的值．

17、已知函数f(x)＝ax＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2.

(1)求f(x)的单调区间和极大值；

(2)证明对任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．

18、如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．

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23－22x

19、已知函数f(x)＝ax＋x＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．

(1)求f(x)的表达式；

(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．

1－x20、已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a>0. 1＋x

(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．

1解析： (1)∵f′(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1，

∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，

∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.

(2)方法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x0＋1，

∴直线l的方程为y＝(3x0＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16，

又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x0＋1)(－x0)＋x0＋x0－16，

整理得，x0＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)＋(－2)－16＝－26，

k＝3×(－2)＋1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

13122解析： (1)∵f(x)－＋cx＋d， 32

∴f′(x)＝x－x＋c，要使f(x)有极值，则方程f′(x)＝x－x＋c＝0有两个不相等的

1实数解，从而Δ＝1－4c>0，∴c<. 4

(2)∵f(x)在x＝2处取得极值，∴f′(2)＝4－2＋c＝0， 222332323232

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