2015年华罗庚数学竞赛答案解析

年华罗庚数学联赛试题(初中组)

(本题满分42分，每小题7分) 本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在)，一律得0分. 、不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为____________

A． 2418 B． 2400 C． 3618 D．7248

1 解：(3×1＋3×2＋??3×33)＋(5×1＋5×2＋??5×20)－(15×1＋15×215×6)＝1683＋1050－315＝2418 ．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 ．D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由

??

x?2?n(y?2)，

?

y?n?2(x?n)， x得 (2y－7)n = y+4，

2n =(2y?7)?1515

2y?7?1?

2y?7

. 因为

15

2y?7

为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7． ．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .

4．7＜x≤19 ．5＜x≤17 B． 6＜x≤18 C．7＜x≤19 D．8＜x≤20

3解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

由已知得－26≤487， －80＞487.

解得 7＜x容易验证，当7＜x≤19时，3x?2≤487 9x?8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．

4、如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP， 过P作PQ?BP，PQ交CD于Q，若AP?CQ?2，则正方形ABCD的面积为（ ）

A

D

P

A、6?42 B、16

Q C C、12?82

D、32

4.解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、

G．易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP，所以FQ＝FD＝EP，因此正方形

ABCD的边长为2+(2+2=12+

故选C．

5.如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，

BC=3-CD=6，则AD边的长为（ ）

A． B． C．

D．

5解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，

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那么

CN=3，

DN=

MN=BM+BC+CN=6，

28．?

3

解：根据题意，关于x的方程有

所以AD2=MN2+(DN-AM)2=48，所以AD

= 故选B．

二. 填空题（本大题满分28分,每小题7分）

6..如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且∠MAN=60°，则AB的长是 ．

6解：延长AM交DC的延长线于F，则△AMB≌△FMC．

则CF=AB，则NF=AB，过N作NH垂直AF于H， 则AH=AN=

NF=

32

392

?=k－4(k2?3k?)≥0，

42

2

由此得 (k－3)≤0．

93

又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=?.

24

故

x1x2

20112012

=

21

=?． 3x2

9.解方程x2-|2x-1|-2=0．此方程的解为9解：当x³

1

时，原方程可化为x2-(2x-1)-2=0，

2

123

，NH=HF=2?42313

，

=22

解得x1=1+

x2=1-又因为x2=1-当x<

214

． 7．所以AB=NF=

3314

． 3

1

，故应舍去． ·············· 10分 2

故填

1

时，原方程可化为x2-(-2x+1)-2=0， 2

7．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d =5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2014中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为 .

7【答】20．

解：∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2014，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数. ∵2014=1×2×19×53，

∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75. 又∵a+b+c+d =5，∴m =20.

解得x3=-3，x4=1． 又因为x4=1>

1

，故应舍去．

2

所以原方程的解为x=1+和x=-3． ············ 20分 三.解答题（本大题满分30分）

10．如图，正方形ABCD的边长为

2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .

10．8

解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以

ADANDN2

???，

BFNFBN1

x39

x2，8．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为x1，那么12012 的

24x2值为 ．

2011

由此得AN?2NF，所以AN?23

AF.

在Rt△ABF中，因为AB?2a，BF?a，所以

AF，

于是

cos?BAF?

ABAF. 由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ?AED??AFB，

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90.

于是

AM?AE?cos?BAF?

，

MN?AN?AM?23AF?AM?，

S?MNDS?MNAF?4

15

. ?AFD又S1

48

?AFD?2

?(2a)?(2a)?2a2，所以S?MND?15S?AFD?15

a2.

因为a?S?MND?8.

11.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大

笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？ 11解：设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，

则有

，

.

易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34, ∴

，

，即

.

∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14

∴z只能取14，9和4. ①当z为14时，

=2，=28. .

②当z为9时，

=26，=18. .

③当z为4时，

=50，=8. .

综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，

钢笔4支. ?????????????????14分

12、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？

12、解：（1）y?(2400?2000?x)?

?8?4?x??，即y??2x2?

50?25?24x?3200．

（2）由题意，得?

225

x2

?24x?3200?4800．整理，得x2?300x?20000?0． 得x1?100，x2?200．要使百姓得到实惠，取x?200．所以，每台冰箱应降价200元． （3）对于y??

2x2

?24x?3200，当x??24

25

?1502???2?时，

??25??

y?

150?最大值?(2400?2000?150)??8?4?50??

?250?20?5000．

所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．