2015 20届华罗庚金杯小高组卷A解析

第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题A（小学高年级组）

（时间：2015年4月11日10：00～11：30）

一、填空题（每小题10分，共80分）

45

1.375 105 0.8=1919

【考点】计算、分数计算

1．计算：84

【难度】☆☆【答案】200【分析】原式 (80

801154) (105 198195

110 200

1104

84 1919

2．右图是用六个正方形、六个三角形、一个正六边形组成的图案，

正方形边长都是2cm，这个图案的周长是cm.【考点】几何、多边形周长【难度】☆☆【答案】24

【分析】正十二边形边长与正方形边长相等，每条边都是2，周长是：12 2 24.

1

3．某项工程需要100天完成，开始由10个人用30天完成了全部工程的，随后再增加10

5

个人来完成这项工程，那么能提前【考点】应用题、工程问题【难度】☆☆【答案】10

天完成任务.

【分析】假设每人每天的工作效率是a份，全部的工作总量是10a 30 增加10人后完成的天数是：（1500a 30 10a） (10a 10a) 60（天）提前100 30 60 10（天）完成.

1

； 1500a（份）

5

4．王教授早上8点到达车站候车，登上列车时，站台上时钟的时针和分针恰好左右对称，列车8点35分出发，下午2点15分到达终点站.当王教授走下列车时，站台上时钟的时针和分针恰好上下对称，走出车站时恰好3点整.那么王教授在列车上的时间共计_______________分钟.【考点】行程、时钟问题【难度】☆☆☆☆【答案】360

【分析】登上列车时，时钟的时针和分针恰好左右对称，8点整是时针和分针的夹角是120240240

（分），此时是8点分.1313

下午2点15分，时针和分针的夹角是15 6 (60 0.5 15) 22.5（度）。

度.120 (6 0.5)

走到站台时恰好是上下对称：22.5 (6 0.5) 王教授在列车的时间是6个小时，共计360分.

45240

(分)，此时是下午2点分.1313

5．由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326，则这些四位数中最大

的是.

【考点】数论、位值原理【难度】☆☆☆【答案】5321

【分析】4个非零数字一共组成了24个四位数，由于每个数字在每位上均出现6次，则24

个数和为6 a b c d 1111 73326，得a b c d 11，此时只有数字1、2、3、5.这些四位数中最大的是5321.

6．如右图所示，从长、宽、高分别为15cm，5cm，4cm的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm，5cm，xcm的

长方体（x,y为整数），余下部分的体积为120cm3，那么x y .【考点】几何、长方体和正方体【难度】☆☆【答案】15

【分析】15 5 4 y 5 x 120解得xy 36；36 1 36 2 18 3 12 4 9 6 ，因

为x,y为整数，且x 4,y 15，所以x 3,y 12．x y 15

7．一次数学竞赛有A、B、C三题，参赛的39个人中，每个至少答对了一道题.在答对A的人中，只答对A的比还答对其它题目的多5人；在没答对A的人中，答对B的是答对C的2倍；又知道只答对A的等于只答对B的与只答对C的人数之和，那么答对A的最多有人.

【考点】组合、容斥原理、最值问题【难度】☆☆☆☆【答案】23

【分析】根据题意得，如下图所示：只答对A的人数是3b a,答对A还答对其他题目的人

数是3b a 5.所有有:3b a 3b a 5 3b 2a 39.

a 2 a 11

化简得4a 9b 44,解得 或 ,

b 4b 0

答对A的人共3b a 3b a 5 6b 2a 5,最大值是6 4 2 2 5 23(人

).

8．甲、乙进行乒乓球比赛，三局两胜制，每局比赛中，先得11分且对方少于10分者胜；10平后多得2分者胜.甲、乙二人得分总和都是30分，在不计比分先后顺序时，三局的比分共有种情况.

【考点】计数、体育比赛的数学问题【难度】☆☆☆【答案】16

【分析】30 3 11，三局中其中一个人胜了两局，所以至少有两个分数不小于11，甲得分

总和是30：30 11 9 10，乙对应的得分是：30 7 10 12；对应的比分是：

11:7

9:11,之后7、9依次减1，10和12依次加1； 10:12

11:6 11:5 11:4 11:3 11:2 11:1 11:0

8:11、 7:11、 7:11、 6:11、 5:11、 4:11、 3:11、 11:13 12:14 13:15 14:16 15:17 16:18 17:19 上面8种都是乙取得了胜利，甲取得胜利对应的也是8种，共计8 2 16种.

二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）

9．两个自然数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，求这两个数.【考点】数论、短除模型【难度】☆☆☆

【答案】115、552或232、435.【分析】设这两个数是a、b，有

mabxy

，有a mx、b my， a、b mxy、 a、b m

m(x y) 667

m(x y) 667=23 29

得 mxy， ，x、y是互质。

xy 120 xy 120 m

所以120 1 120 2 60 3 40 5 24 8 15

x y 24 5 29 x y 8 15 23

满足要求的是 或

m 23 m 29此时对应的数是115、552或232、435.

10．酒店有100个标准间，房价为400元/天，但入住率只有50%，若每降低20元的房价，

则能增加5间入住，求合适的房价，使酒店收到的房费最高.【考点】组合、最值【难度】☆☆☆【答案】22500

【分析】初始状况是：400元、50间，设降价了x个20元，

房费是：(400 20x)(50 5x) 100(20 x)(10 x)

而 20 x 10 x 30，和一定，差小积大，20 x 10 x 15时最大；所以此时的房价最高是：100 15 15 22500（元）.

11．如图，长方形ABCD的面积是56cm2，BE=3cm，DF=2cm，请你回答：三角形AEF

的面积是多少？

【考点】几何、一半模型【难度】☆☆☆【答案】25

【分析】过F点做AD的平行线，交于AB于G点；连接GE；如下图所示：四边形AGEF是长方形的一半，三角形AEF的面积是

562 3 25.22

12．当n取遍1,2,3, ,2015中所有的数时，形如3n n3的数中能够被7整除的有多少？【考点】同余【难度】☆☆☆【答案】288

【分析】3n除以7的余数以6为周期，3、2、6、4、5、1；n3除以7的余数以7为周期，1、

2015 42 47 4147 6 6 288

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）

13．在右图中，ABCD是平行四边形，AM MB，DN CN，BE EF FC，四边形EFGH

的面积是1，求平行四边形ABCD的面积.

【考点】比例模型【难度】☆☆☆【答案】

809

【分析】由风筝模型，

BHS BME

HNS NME由鸟头模型S BFG

11121

1BGS BDF 4 ，

3GNS NDF 1 22232

428111

S BCN S BCN，S BEH S BCN S BCN53154312

2711980 81

所以SEFGH S BCN SABCD SABCD，SABCD

9602280 1512