小学六年级奥数系列讲座：整取问题(含答案解析)
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小学六年级奥数系列讲座：整取问题(含答案解析)
整取问题
内容概述
有时我们只关心某数的整数部分，于是我们就有了取整问题，如在抽屉原理里,在不定方程里等一些数论问题中．
我们规定[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，即为x的小数或真分数部分． 如[3.14]=3，{3.14}=0.14，
显然有{x}<1．
O≤{x}+{y}<2(x、y均为整数时等号才成立)．
典型问题
2．求??1981?1??1981?2??1981?2005??1981?2006?的和． ??...??????????2006??2006??2006??2006?
【分析与解】 我们知道如果直接求解是无法解出的，现在试着观察规律:
最后一项为1981不难得到，再看?+??2006????1?198?1?1981?2005?；2006??1981?1?1981?1??1981?1?=?+?? ?2006?2006??2006?1981?2005?1981?2005??1981?2005?=?+?? ?200620062006????
所以+有1
2
=??9?1981?1??1981?2005??1981?81981?20052005??1981?1?=1981=?+++???? ???0?2006?2006?0?2006??2006??2006?1981?1??1981?2005??1981?1??1981?2005?+?+??+?? ??2006200620062006????????
因为??1981?1??1981?2005?+?的和为整数, ???2006??2006?
所以??1981?1??1981?2005??+??的和也为整数,但是我们知道0≤{x}+{y}<2；在此题20062006????
?1981?1??1981?2005??+??=1 ?2006??2006?中显然≠0，所以?
于是?
?1981?1??1981?2005?+?=1981-1=1980； ???2006??2006?
这样，我们就找到了一般规律，我们知道原式除了最后一项，还有2005项，于是有1002组和??1981?1003?=990； ??2006?
所以为1002×1980+990+1981=1986931．
4．解方程[x]{x}+x=2{x}+10
【分析与解】 我们注意到x不超过10，x不能小于5；
所以当[x]=5，6，7，8，9，10的时候我们分别计算小数部分{x}
当[x]=5时，有5{x}+5+{x}=2{x}+10；则4{x}=5，{x}>1，不满足；
4； 5
1当[x]=7时，有7{x}+7+{x}=2{x}+10；则 6{x}=3，{x}=； 2
2当[x]=8时，有8{x}+8+{x}=2{x}+10；则7{x}=2，{x}=； 7
1当[x]=9时，有9{x}+9+{x}=2{x}+10；则8{x}=1，{x}=； 8当[x]=6时，有6{x}+6+{x}=2{x}+10；则5{x}=4，{x}=
当[x]=10时，有10{x}+10+{x}=2{x}+10；则 9{x}=0，{x}=0．
所以有x=6
6．r满足?r?
【分析与解】 显然等式的左边有91-19+1=73项，每项值为[r]或[r+1]，这是因为：4121，7，8，9，10． 5278??19??20??21?91??=546．求[100r]的值? ?r??r??...?r????????100??100??100??100?192091、、…、均小于l， 100100100
又由于73×7<546<73×8，为使和数为546，则[r]=7，
则设有t个[r+x]值为7，于是，7×t+8×(73-t)=546, 100
解得t=38．
所以有38项整数部分为7．
5619?38?1<8，即 r+<8． 100100
19?3857≥8，即 r+≥8 r+100100
56 于是，100[r+]<8×100． 100
100r+56<800，100r<744；100r+57≥800，100r≥743．
于是，[100r]=743 即：r+
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