2015年浙江省数学竞赛试题与答案解析(详细解答)

2015年浙江省高中数学竞赛试卷

说明：（1）本试卷分为A卷和B卷：A卷由本试卷的20题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前18题组成，即8道选择题、7道填空题、3道解答题。

（2）考试不允许携带计算机或计算器。

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6人，共48分）

2y21、“a=2，

是“曲线C: 2 2 1(a,b R,ab 0)经过点

1)”的 ab

（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2、已知一个角大于120°的三角形的三边长分别为m，m+1，m+2，则实数m的取值范围为（ ）

A.m>1

B.1<m<

2

C. <m<3

2

D.m>3

3、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是BB1的中点，

则二面角M－CD1－A的余弦值为 （ ）

B.

a b 2 0

4、若实数a，b满足 b a 1 0，则的最大值为 （ ）

a 1

A.1

B.

4

C.

5

D.2

5、已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积

S PQR

分别为S△PQR，S△ABC，则的最小值为

S ABC

A.

（ ）

2

B.

3

C.

4

D.

5

6、已知数列{an}的通项an=

(x 1)(2x 1)

C.

(nx 1)

，n∈N*，若a1+a2+…+a2015<1，则实数x等于

（ ）

A.

2

B.

D.

7、若过点P(1，0)，Q(2，0)，R(4，0)，S(8，0)作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积

不可能等于 （ ） ．．．

A.

17

B.

5

C.

5

D.

53

8、若集合A={(m，n)|(m+1)+(m+2)+…+(m+n)=102015，m∈Z， n∈N*}，则集合A的元素个数为（ ） A.4030 B.4032 C.20152 D.20162

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9～14题每题7分，15题8分，共50分）

9、已知函数f(x)满足 f(x+1)+f(1－x)=0，f(x+2)－f(2－x)=0，且f()=1，则f(

10、若数列{an}的前n项和Sn=n－n，n∈N*，则

32

2015i 1

＝ a 8i 2

i

11、已知F为抛物线y2=5x的焦点，点A(3，1)，M是抛物线上的动点。当|MA|+|MF|取最小值时，

点M的坐标为 12、若16sin

2

x

16cosx 10，则

2

13、设函数f(x)=min{x2－1，x+1，－x+1}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者。若f(a+2)>f(a)，

则实数a的取值范围为 14、已知向量a，b的夹角为，|a－b|=5，向量c－a，c－b的夹角为，|c－a

，则a·c的

33

最大值为 15、设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有(ax+2)(x2+2b)≤0，则

三、解答题（本大题共有3小题，16题16分，17、18题每题18分，共52分）

16、设a，b∈R，函数f(x)=ax2+b(x+1)－2.若对任意实数b，方程f(x)=x有两个相异的实根，

求实数a的取值范围。

2y2，右焦点为圆C: (x

2+y2=7的圆心。 17、已知椭圆C1: 2 2 1(a b

0)2

ab

（I）求椭圆C1的方程；

（II）若直线l与曲线C1，C2都只有一个公共点，记直线l与圆C2的公共点为A，求点A的坐标。

a a n

n 1bn

18、已知数列{an}，{bn}满足a1>0，b1>0， ，n∈N*.证明：a50+b50>20

bn 1 bn n

四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分） 19、已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an

n∈N*.

（I）证明：{an}是正整数数列；

（II）是否存在m∈N*，使得2015|am，并说明理由。

20、设k为正整数，称数字1～3k+1的排列x1，x2，…，x3k+1为“N型”的，如果这些数满足

（1）x1<x2<…<xk+1；（2）xk+1>xk+2>…>x2k+1；（3）x2k+1<x2k+2<…<x3k+1。 记dk为所有“N型”排列的个数。 （I）求d1，d2的值；

（II）证明：对任意正整数k，dk均为奇数。

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）

x2y2

1．“a =2，

b 是“曲线C：2 2 1(a,b R,ab

0)经过点

ab

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A.

”的( A )．

x2y2

解答：当a =2，

b C：2 2

1经过

ab

时，即有

x2y2

；当曲线C：2 2

1经过点

ab

21

2

1，显然a 2,b “a =2，

b ”是“曲线C：2

ab

x2y2

1经过点a2b2

”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为m,m 1,m 2，则实数m的取值范围为( B )． A． m 1 B． 1 m 答案：B.

解答：由题意可知：

33

C． m 3 D．m 3 22

A1

1

m (m 1) m 23

1 m 解得。 222

2 (m 2) m (m 1) m(m 1)

3． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点， 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C )．

第3题图

1

B． C．

D

2答案：C.

A．

解答：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

1

D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,)，且平面ACD1的法向量为n1 (1,1,1)，平

2

面MCD1法向量为n2 (

1,2,2)。因此cos n1,n2

，即二面角M-CD1

-A。

a b 2 0

a 2b

4．若实数a,b满足 b a 1 0，则的最大值为 ( C )．

2a b a 1

A． 1 B． 答案：C.

解答：由a,b满足的条件知1

57

C． D． 2 45

a 2bb

3，所以 2 a2a b

32 b

a

713

，当(a,b) (,)取等号。

225

5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则

S PQRS ABC

的最小值为( D )．

1111 B． C． D． 2345参考答案：D.

解答：如图5-1所示，

A． A

P H

B 图5-1 图5-2

（1）当 PQR的直角顶点在 ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，

. APR, BQR中分别应用正弦 APR CQR 180 BQR,所以sin APR sin BQR在

定理得

PRARQRBR

, .又 A B 45,故PR QR,故AR BR即R为ABsinAsinAPRsinBsinBQR

的中点.