2007年第二届南方杯数学邀请赛初二第2试(含参考答案)word版

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2007年第二届南方杯数学邀请赛初二第2试

（考试时间：120分钟，总分：150分）

一、选择题：（每小题6分，共36分）

2321、若a、b是实数，a＜b且a??b?，则?5(a?1)?(3a?2b)?2(a?b?2)等于（ ）

A．－1 B．－2a+b C．0 D．－6a+4b+1

2、若x、y是两个实数，且?

A．???x?x?y??2，则xyyx等于（ ） ??y?x?y?191689 B．? C．? D． 82798

3x?95x?7a?1没有解，则另一个分式方程?3的解为（ ） 3、若a是有理数，使得分式方程x?a2x?9

A．6 B．5 C．－5 D．－6

4、若a、b是实数，a≠0，4a2+3b2=7ab，则2a?3b

2a?b等于（ ）

A．?(7?4) B．7?4 C．7?43或1? D．1?3

5、若a、b、c是实数，a≠0，ax3+bx2－c的一个因式是x2+2x－1，则

A．b等于（ ） a55 B． C．2 D．3 32

6、如图1，若ABCD是一个长方形，AB = 2，AD = 1，作点A关于对角线BD的对称点P，则PC等于（ ）

A 31235 B5 C5 D5 5425

二、填空题：（每小题9分，共54分）

7、若直角三角形ABC的周长为l，斜边长为c（l＞2c），则直角三角形的面积等

于_____________（用关于l，c的简单式子表示）．

x2?2ABC???8、设3，其中A、B、C为实数（常数），2x?x?4x?4x?2x?2x?1图1

则A等于_____________．

9、问：是否不论实数k为何值，直线(k－1)x－(2k+3)y－k－10=0在平面直角坐标系xOy中总是过一个定点？答：_____________（若不是，请填“否”；若是，请填上该定点的坐标）．

10、若某一个内角为30°的菱形中有一个点到四边的距离分别为1、2、3、4，则这个菱形的面积等于_____________．

11、分解因式：x2y+xy2－x2－y2－3xy+2x+2y－1=_____________．

12、在大于数2859433－1的且能被6整除的正整数中，最小的那个数是_____________．

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三、解答题（每小题15分，共60分）

13、试求出所有的实数对a、b，使得关于x的不等式组?

14、（1）试求出奇数的四次方被16除所得的余数（最小非负剩余）；

（2）问：是否存在六个整数a、b、c、d、e、f，使得a4+b4+c4+d4+e4+f4=20079？请说明理由（允许利用在(1)中所得到的结论）．

第 2 页 共 5 页 ?ax?3＞2x?4的解集为－2＜x＜5． ?3bx?4＜?5x?1

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15、如图2，点M在△ABC的BC边上（不与顶点B、C重合），分别作MD⊥AB、ME⊥AC，垂足D、E分别在两边AB、AC上，△ABM与△ACM的面积相等，且△BDM与△CEM的面积相等． 若BD = 2、CE=1，试求点A到BC边的距离．

A

16、试求出所有的整数n，使得24n2?15

3n?2是整数．

第 3 页 共 5 页 图2

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参考答案

一、选择题：（每小题6分，共36分）

二、填空题：（每小题9分，共54分）

三、解答题（每小题15分，共60分）

13、解：?

1?ax?3＞2x?4?(a?2)x＞

① ??

?3bx?4＜?5x?1?(3b?b)x＜5

因为①的解为－2＜x＜5，所以a－2≠0，且3b+5≠0 （1）若?

?a?2＞015

＜x＜，则①? a?23b?5?3b?5＞0

3?1?

??2a????a?2?2

??从而?，这与a＞2矛盾，不合要求

45??b???5

??3??3b?5

1?

x＞??a?2＞0?a?2

（2）若?，则①??，这显然不是－2＜x＜5，不合要求

5?3b?5＜0?x＞

?3b?5?1?x＜??a?2＜0?a?2

（3）若?，则①??，不合要求

?3b?5＞0?x＜5

?3b?5?

11?5?

??2a????a?2＜051?3b?5?5?＜x＜??（4）若?，则①，从而? 13b?5a?253b?5＜0???b???5

??2??a?2

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11?a???5综上所述，所求的实数对为?．

?b??5

?2?

14、解：（1）设a是奇数，则a = 2n +1（n是整数），a4=(2n+1)4=(4n2+4n+1)2=[4n(n+1)+1]2 因为n (n +1)为偶数，所以4n (n +1)是8的倍数，令4n (n +1) = 8 t （t是整数），

则a4=(8t+1)2=64t2+16t+1=16²(4t2+t)+1，即a4被16除所得的余数为1 ．

（2）不存在．理由如下：

显然，偶数的四次方被16除的余数为0，由（1）知：奇数的四次方被16除的余数为1，而整数可划分为奇数与偶数两大类，所以a4+b4+c4+d4+e4+f4被16除的余数只可能为0、1、2、3、4、5、6 ； 另一方面，2007被16除的余数为7，所以20079被16除的余数就是79被16除的余数，

注意到79=7³78=7³494=7³（16k+1），被16除的余数为7 ，

由以上两个方面知：a4+b4+c4+d4+e4+f4与20079被16除的余数永远不可能相同，

因此所述的a、b、c、d、e、f不存在．

15、解：由S△ABM=S△ACM知：BM=MC，记DM=x，ME=y，AD=z，AE=w

由BM=MC及勾股定理得：22+x2=BM2=MC2=12+y2，∴y2－ x2=3． ①

由S△BDM=S△CEM得：11?2?x??y?1，∴y=2x ② 22

把②代入①得：4x2－x2=3，x2=1，故x=1，y=2

又由勾股定理得：x2+z2=AM2=y2+w2即1+z2=22+w2，∴z2－w2=3 ③

由S△ABM=S△ACM得：11?x?(2?z)??y?(1?w)即2+z=2+2w，∴z=2w ④ 22

A

把④代入③得：4w2－w2=3，w2=1，故w=1，z=2， 从而S△ABC11??1?4??2?2?2， BC=2BM=25， 22

2S84故点A到BC边的距离=△ABC??． BC25

图2

8n(3n?2)?16n?1516n?1516n?1524n2?15?Z?8n??Z??Z ?Z?16、解：3n?23n?23n?23n?2

3?(16n?15)48n?4516?(3n?2)?77?Z（∵3与3n + 2互素）??Z??Z 3n?23n?23n?2

77777?11?16??Z??Z??Z（7和11为素数） 3n?23n?23n?2?

令3n+2=±1得：n=－1

令3n+2=±7得：n=－3

令3n+2=±11得：n=3

令3n+2=±77得：n=25

综上所述，所求的整数n=－3，－1，3，25．

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