2010年全国高中数学联赛试题及答案

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2010年全国高中数学联赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛试题及答案

声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》

2010年全国高中数学联赛

一试

一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数f(x)?

x?5?

24?3x的值域是 .

2. 已知函数y?(acos2x?3)sinx的最小值为?3，则实数a的取值范围是3. 双曲线x2?y2?1的右半支与直线x?100围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .

4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn}是等比数列，其中

a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3，且存在常数?,?使得对每一个正整数n都有an?log

bn??，

则???? .

5. 函数f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1) 在区间x?[?1,1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .

6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

7. 正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等，二面角B?A1P?B1??,P是CC1的中点，则sin?? .

8. 方程x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）

2010年全国高中数学联赛试题及答案

9. （16分）已知函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0)，当0?x?1时，f?(x)?1，试求a

的最大值.

和B(x,y)10.（20分）已知抛物线y?6x上的两个动点A(x1,y1)22，其中x1?x2且

x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求?ABC面积的最大值.

11.（20分）证明：方程2x?5x?2?0恰有一个实数根r，且存在唯一的严格递增正整数数列{an}，使得

??.

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