2010年全国高中数学联赛试题及答案
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2010年全国高中数学联赛试题及答案
2010年全国高中数学联赛试题及答案
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2010年全国高中数学联赛
一 试
一、填空题(每小题8分,共64分,) 1. 函数f(x)?
x?5?
24?3x的值域是 .
2. 已知函数y?(acos2x?3)sinx的最小值为?3,则实数a的取值范围是3. 双曲线x2?y2?1的右半支与直线x?100围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 .
4. 已知{an}是公差不为0的等差数列,{bn}是等比数列,其中
a1?3,b1?1,a2?b2,3a5?b3,且存在常数?,?使得对每一个正整数n都有an?log
?
bn??,
则???? .
5. 函数f(x)?a2x?3ax?2(a?0,a?1) 在区间x?[?1,1]上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 .
6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
7. 正三棱柱ABC?A1B1C1的9条棱长都相等,二面角B?A1P?B1??,P是CC1的中点,则sin?? .
8. 方程x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解(x,y,z)的个数是 . 二、解答题(本题满分56分)
2010年全国高中数学联赛试题及答案
9. (16分)已知函数f(x)?ax?bx?cx?d(a?0),当0?x?1时,f?(x)?1,试求a
的最大值.
2
和B(x,y)10.(20分)已知抛物线y?6x上的两个动点A(x1,y1)22,其中x1?x2且
x1?x2?4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求?ABC面积的最大值.
11.(20分)证明:方程2x?5x?2?0恰有一个实数根r,且存在唯一的严格递增正整数数列{an},使得
1
3
25
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a1
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