多属性决策中权重确定的一种集成方法_樊治平

机器人;控制;系统

第1卷第3期管　理　科　学　学　报Vol.1No.31998年9月　　　　　　　　JOURNALOFMANAGEMENTSCIENCESINCHINA　　　　　　　　　Sep.1998

多属性决策中权重确定的一种集成方法

(东北大学工商管理学院)　(香港城市大学商学院)

①

樊治平　张　全

②

马　建

【摘要】针对多属性决策中属性权重的确定问题,提出了一种主客观信息的集成方法.该方法是

通过一个数学规划模型,将决策者给出的主观权重偏好信息与客观的决策矩阵信息进行有机地集成,使确定的权重同时反映主观程度和客观程度.关键词:多属性决策,权重,模型,集成方法

0　引　言

多属性决策是与多个属性有联系的有限方案选择问题[1],它具有广泛的理论和实际应用背景.虽然20多年来有关多属性决策问题的研究已经有了丰硕的成果,但是仍面临着新的挑战一个多属性决策问题:

S={S1,S2,…,Sm}:m个可能方案的集合.

P={P1,P2,…Pn}:n个属性的集合.假设这些属性是客观的并且是加性独立的(aditivelyindependent).

w=(w1,w2,…,wn):属性权重的向量,其中∑wj=1,wj≥0, j.

T

j=1n

[2]

.下列符号表示

A=[aij]m×n:决策矩阵.其中aij是方案Si对应于属性Pj的一个数值结果.在决策矩阵A中,aij∈[0,1], i,j,这表示矩阵A已被规范化.

决策者的目标就是从集合S中选择M(<m)个最满意的方案或一个最好的方案S*.

值得指出,解决多属性决策问题的许多方法都需要关于属性权重的信息[1].由于方案的排序与属性的权重密切相关,所以,在解决多属性决策问题之前,如何确定权重是非常重要的.目前确定属性权重的方法大致可分为两类:一类是基于决策者给出偏好信息的方法(也包括决策者直接给出的属性的权重),例如特征向量法[3]、最小平方和法[4]和Delphi法[5],等等.另一类是基于决策矩阵信息的方法,例如主成分分析法[6],熵法[1]和多目标最优化方法[7,8],等等.文献[7]及本文作者认为第1类方法属于“主观赋权法”,因为权重的确定是基于决策者的主观偏好信息;第2类方法属于“客观赋权法”,因为权重的确定是基于客观信息(可以认为决策矩阵是属于客观信息的).

运用主观赋权法确定权重,虽然反映了决策者的主观判断或直觉,但是方案的排序可能有很大的主观随意性,也可能受到决策者的知识或经验缺乏的影响.而运用客观赋权法确定权重,虽然通常利用完善的数学理论,但忽视了决策者的主观信息.由于两类方法都存在长处和短处,所以将主观赋权法和客观赋权法进行集成或综合将是期望的.目前,有关确定权重的主客观信息集成方法的研究已经引起了重视,并且得到了一些初步的研究成果[9,10].本文将给出一种新的确定权重的集成方法.

①国家自然科学基金资助项目(79600006)和辽宁省博士起动基金资助项目(971023).

②:,.:,:

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第3期　　　　　　　　　樊治平等:多属性决策中权重确定的一种集成方法

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1　原理与方法

000T

考虑多个决策者DMk(k=1,2,…,q)已经分别给出属性的权重为w0k=(wk1,wk2,…,wkn),k=1,

q

2,…,q.设每个决策者的重要程度(权重)为h=(h1,h2,…,hq),其中,∑hk=1,hk≥0.

T

k=1

从主观赋权法角度,为了确定属性的权重,可以建立下列优化模型　　　　　minG′=

n

∑∑h

k=1j=1

qn

k

(wj-wk0j)2

(1a)(1b)

　　　　　s.t.

∑

wj=1　　　　　　　wj≥0,j=1,2,…,n

j=1

模型(1)的含义是找出一个权重向量w,使属性权重wj(j=1,2,…,n)与决策者给出的权重wkj(k=1,

2,…,q;j=1,2,…,n)之间的总偏差平方和G′最小.

从客观赋权法角度,为了确定属性权重,可以建立下列多目标最优化模型　　　　　V-minG=(g1,g2,…,gm)

n

[8]

(2a)(2b)

　　　　　模型(2)中,gi=

s.t.

n

∑

wj=1　　　　(　　　wj≥0,　,j=1,2,…,n

j=1

∑

*

(a*j-aij)2w2j,其中,aj=max{a1j,a2j,…,amj}是属性Pj的“理想值”.gi的含义是

*

*

*

*

j=1

方案Si={ai1w1,ai2w2,…,ainwn}与“理想方案”S={a1w1,a2w2,…,anwn}之间的偏差平方和.模型

(2)的含义是寻找一个权重向量w,使g1,g2,…,gm均达到最小.

为了求解模型(2),可以采用等权的线性加权方法,将多目标最优化模型转化为等价的单目标最优化模型

　　　　　minG=

n″

∑

m

i=1

gi=

∑∑

mn

i=1j=1

(aj-aij)wj

*2

(3a)(3b)

　　　　　s.t.

∑

j=1

wj=1　　　　　　　wj≥0,j=1,2,…,n

模型(3)就是基于决策矩阵A的信息来确定属性的权重,可以认为是一种客观赋权法.

为了使确定的权重同时含有主观信息与客观信息,可以考虑将模型(1)和模型(3)进行有效的集成,为此,可以建立下列新的最优化模型

′″

　　　　　V-min(G,G)

n

(4a)(4b)

　　　　　s.t.

∑

wj=1　　　　　　　wj≥0,j=1,2,…,n

′

″

j=1

模型(4)的含义就是求出一个权重向量,使两个目标函数G、G同时达到最小.为了求解模型(4),可以采用线性加权方法,将两目标最优化模型转化为等价的单目标最优化模型

q

n

0kj

2

m

n

*

2

2

　　　　　minZ=T∑∑hk(wj-w)+U∑∑(aj-aij)wj

k=1j=1

i=1j=1

(5a)(5b)(5c)

　　　　　s.t.

∑

n

j=1

wj=1

　　　　　wj≥0　　　　j=1,2,…,nLagrange函数　　　　　L=T∑

qk=1j=1

其中,T、U表示相对重要程度,且T+U=1,T,U>0.为了求解模型(5),首先不考虑约束条件(5c),建立

∑h

n

k

(wj-w)+U∑

kj

2

m

i=1j=1

∑

n

(a

*j

-aij)w+2λ(∑wj-1)

2

2

j

j1

n

(6)

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管　理　科　学　学　报　　　　　　　　　　　　　　　1998年9月

式中,λ为Lagrange乘子.令 L/ wj=0,得

q

kj

k=1

m

*2

　　　　　T∑hk(wj-w)+U∑(aj-aij)wj+λ=0

i=1

(7)

联立求解式(5b)和式(7),可以得到属性的权重为

n

n

jj

j

　　　　　w=bj[cj+(1-其中

　　　　　bj=

i=10

*

j

∑bc)/∑b

j=1

j=1

2

]　　　　j=1,2,…,n(8)

*j

T+U∑(a-aij)

qk=1

j=1,2,…,n(9)

　　　　　cj=T∑hkwkj

n

n

n

j=1,2,…,n

n

(10)

下面来说明w*j将满足约束条件(5c),这样求出的w*j才有实际意义.由式(9)可知,0<bj≤1/T,所以有1-∑bjcj≥1-cj.又由式(10)可知,∑cj=T,因此,1-∑Tj=1j=1j=1

式(8)可知,w*j≥bjcj.同时,注意到bj>0,cj>0,故有w*j>0.

∑bc≥

jj

j=1

1-

T=0.则由T

2　算　例

由于机器人广泛应用于各种工业中,所以使用机器人的用户面临着许多选择.因为机器人有多个性能指标,并且至今还没有一个完善的工业标准,因此如何在市场上选择机器人是一个多属性决策问题[11,12].下面给出一个例子来说明前面提出的方法.

考虑一个用户要选择机器人,有4个方案供他/她选择,即S1,S2,S3,S4;有4个属性,即P1:价格(＄10000);P2:速度(m/s);P3:可重复性(mm);P4:负载能力(kg).这里P1,P3为成本型属性,P2,P4为效益型属性,该问题的决策矩阵如表1所示.

表1　关于选择机器人的决策信息

S1S2S3S4

P3.02.51.82.2

P1.00.80.50.7

P1.00.82.01.2

P705011090

　　根据文献[7],将表1中的决策矩阵可转化为规范化的决策矩阵A为

015/61

　　　　　A=

5/121

3/50

10

01

2/32/52/32　　假设机器人用户聘请3个专家给出关于属性的权重向量分别为w01=(0.3,0.4,0.15,0.15)T,w02=(0.4,0.3,0.15,0.15)T,w03=(0.25,0.25,0.25,0.25)T,并且每个专家的权重为h=(1/3,1/3,1/3)T.同时,取系数T=U=0.5.如果使用前面给出的公式(8),则可求出同时反映主、客观信息的权重向量为w*=(0.2733,0.2658,0.2509,0.2100)T.如果需要对所有方案进行排序,那么可以使用加权

n

法,即di=

∑a

j=1

ij

w*j,则可计算出每个方案的综合评价值为d1=0.5449,d2=0.5242,d3=0.4833,

d4=0.5958.故方案的排序结果为S4 S1 S2 S3.

机器人;控制;系统

第3期　　　　　　　　　樊治平等:多属性决策中权重确定的一种集成方法

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3　结束语

本文针对多属性决策中属性权重的确定问题,给出了一种集成方法.该方法是将主观信息与客观权信息进行集成,并通过数学规划模型直接求出权重向量.本文的研究内容弥补了单纯采用主观赋权法或客观赋权法的不足,使多属性决策问题的分析结果同时反映了主观程度和客观程度.

参考文献

1　HwangCL,YoonK.Multipleattributedecisionmaking.Springer-Verlag,BerlinHeidelberg,NewYork,19812　YoonKP,HwangCL.Multipleattributedecisionmaking-AnIntroduction.SageUniversityPaper,SageQASSSe-ries,SagePublications,InternationalEducationalandProfessionalPublisher,19963　SaatyTL.Ascalingmethodforprioritiesinhierarchicalstructures.JournalofMathematicalPsychology,1977,15:

234～281

4　ChuATW,KalabaRE,SpingarnK.Acomparisonoftwomethodsfordeterminingtheweightsofbelongingtofuzzy:531～538sets.JournalofOptimizationTheoryandApplication,1979,275　HwangCL,LinMJ.Groupdecisionmakingundermultiplecriteria:methodsandapplications.Springer-Verlag,19876　严鸿和,陈玉祥,许绍明等.专家评分机理与最优评价模型.系统工程理论与实践,1989;9(2):19～237　王应明,傅国伟.运用无限方案多目标决策方法进行有限方案多目标决策.控制与决策,1993;8(1):25～298　樊治平.多属性决策的一种新方法.系统工程,1994;12(1):15～17

9　梁梁,陈晓剑.重要性与信息量的综合评价方法.决策与决策支持系统,1993;3(3):90～92

10　FanZP,MaJ,TianP.Asubjectiveandobjectiveintergratedapproachforthedeterminationofattributeweights.

ProceedingsoftheFourthConferenceoftheInternationalSocietyforDecisionSupportSystems,Switzerland,1996.611～617

11　GohCH.,TungYCA,http://wendang.chazidian.computers&In-dustrialEngineering,1996;30:193～199

12　KhoujaM,OffodileO.Theindustrialrobotsselectionproblem:aliteraturereviewanddirectionsforfuturere-search.IIETransactions,1994;26(4):50～61

AnIntegratedApproachtoDeterminingWeightsinMultipleAt-tributeDecisionMaking

FanZhiping,ZhangQuan

FacultyofBusinessAdministration,NortheasternUniversity

MaJian

FacultyofBusiness,CityUniversityofHongKong

　Inordertodetermineattributeweightsinmultipleattributedecisionmaking,anintegratedapproachbaasedonsubjectiveandobjectiveinformationisproposed.Bysolvingamathematicpro-grammingmodel,thesubjectiveinformationofweightsgivenbydecisionmakersandtheobjectivein-formationofthedecisionmatrixareintegratedsothatthedeterminedweightsreflectbothsubjectivefactorsandobjectivefactors.

　multipleattributedecisionmaking,weights,model,integratedapproach