函数概念300年_李鹏奇

第17卷　第3期自然辩证法研究　　　　　　　Vol.17,No.3

2001年　3月Mar.,2001StudiesinDialecticsofNature文章编号:1000-8934(2001)03-0048-05

函数概念300年

李　鹏　奇

(南开大学　马克思主义教育学院,天津　300071)

　　摘要:函数概念是全部数学最重要的概念之一。本文论述了自17世纪下半叶到现在300多年来函数概念的历史变迁,说明了严密化的企图始终刺激着函数概念的发展。就严密化是一个渐进的、不可躲避的历史过程而言,函数概念的历史映射了整个数学的发展史。

关键词:函数;严密化

中图分类号:N09　　　　文献标识码:A

　　17世纪末18世纪初,分析学借助于刚刚诞生的函数概念,逐渐摆脱了几何的直观走上了代数化的道路,而这无论从其可操作性上还是从其严密性上都进入了一个崭新的时代。于是分析学的许多分支诞生了,力学、物理学中的许多问题被描绘成各种各样的函数并被解决了。分析学乃至整个数学以后的发展再也没有和函数分开过。近代许多著名的数学家如牛顿(Newton,英,1642-1727)、莱布尼兹(Leib-niz,德,1646-1716)、欧拉(L.Euler,瑞士,1707-1783)、拉格朗日(http://wendang.chazidian.comgrange,法,1736-1813)、傅立叶(Fourier,法,1768-1830)、柯西(Cauchy,法,1789-1857)、维尔斯特拉斯(Weierstrass,德,1815-1897)等,都在他们各自的历史时期为试图严密地定义它作了不懈的努力,从解析几何到微积分再到实(复)变函数论再到集合论,无不闪耀着它的历史足迹

〔1〕

出来的数学严密性的发展,对我们来说是一件极有意义的事情。

1　函数思想的萌芽———从几何观念上对函数的探讨

　　函数概念的起源,最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。在描绘物体运动的曲线时,人们提炼出变数的概念。根据一个变数的变化计算出另一个量的变化,以此来反映整个事物依这两个量变化而变化的全貌,这一方面是解析几何的诞生历程,另一方面是函数思想的最初萌芽。

14世纪时,法国数学家奥莱斯姆(Oresme,1323-1382)在表示依时间t而变的变数x时,他画出了图形,把t称为“经度”(longitude),把x称为“纬度”(latitude)。这种方法被开普勒(Kepler,德,1571-1630)和伽利略(Galilei,意大利,1564-1642)应用于关于天体运行方面的研究〔2〕。开普勒根据他老师第谷·布拉赫(TychoBrahe,丹麦,1546-1601)的观则数据得出了行星运动的三大定律。伽利略关于自由落体、单摆的研究,始终包含着两个量同时变化的思想,就象伽利略所说的“从静止状态开始以定常加速度下降的物体,其经过的距离,与所用的时间平方成正比”,“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体,其下滑的时间与平板的长度成正比”〔3〕。这些话清楚地表明他是在讨论一种函数关系,只是他还

。

数学,从来都以严密性要求着自己,无论情况多么严峻它始终不会改变自己的初衷。但严密性有它本身的历史局限性,从不同的高度会对数学的严密性提出不同的要求。为了解决某个具体的实际问题而抽象出数学模型,我们的思维已经向严密化迈进了。然而,能否在抽象的思维中剔除其表面的东西抓住其本质,让数学摆脱人为的干扰,完全依托于它自身的力量来解决问题,是我们衡量数学严密与否的标准。考察函数概念的历史变迁,思索它所辉映

收稿日期:2000-09-19

作者简介:李鹏奇(1971-),男,河北邢台人,南开大学科学技术哲学专业硕士研究生,研究方向为科学思想史(数学思想史)。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数概念300年没有把它们用符号形式表示出来而已。

17世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的,而曲线被看作运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与接受。牛顿在他的《求曲边形的面积》中说:“我认为这里的数学量,

〔3〕不是由小块合成的,而是由连续运动描出的”。英

数和常数的任一形式所构成的量〔3〕。约翰的学生,18世纪著名的数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》(1748年)中进一步推广了他老师的定义,他说:“常量是指永远保持同一值的确定的量”,“变量是指不取定值的量或者说通用的量,它本身蕴涵了一切通用的值”,“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”〔4〕。1755年,欧拉在他的《微分学原理》的序言中又给出了如下定义:“如果某些量以这样的方式依赖于另一些量,即当后面这些量变化时,前面这些变量也随之变化,则将前面的变量称为后面变量的函数〔5〕。早在1734年欧拉就给出了非常形象的、一直沿用至今的函数符号f(x)。欧拉用“解析表达式”替代了约翰的“任意形式”,明确地表述了变量之间相互依赖的变化关系,这使我们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步,它反映了数学在对现实关系的摹写上的进化。拉格朗日毫无疑问借鉴了其他一些人的工作。1797年,进一步给出了函数的一个定义:所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式,这些量以任意方式出现于表达式中,表达式中可以有(也可以没有)其它一些被称为具有给定和不变值的量,而函数的量值可以取所有可能的量值。因此在函数中,我们仅考虑那些假定是变化的量而不去关心可能包含在其中的常数〔5〕。

随着函数概念的大量采用,微积分开始走上了形式化的道路。求速度和加速度、求切线方程、求函数的最大值和最小值、求曲线长和曲线所围的面积、曲面所围的体积等,这些曾引发微积分诞生的问题,在函数思想的影响下,又迅速地把微积分引向代数化的道路。这个过程反过来也刺激了函数概念的发展,促使人们从更严密的角度来考察它。在这个时期不仅使用了已知的所有函数,而且使初等函数达到了相当复杂的形式,初等函数被充分认识到了,并实际上已将它们发展成为我们今天所见到的样子。对数函数已有了系统的研究,三角函数的数学已经系统化了。兰伯特(http://wendang.chazidian.commbert,德,1728-1777)全面地研究了双曲函数。欧拉概括了多项式、幂级数、对数表达式与三角表达式,他还定义了多元函数,区分了代数函数和超越函数、显函数和隐函数〔3〕。

到18世纪后半叶,对函数的理解除了原先确立的变量之间对应变化的思想之外,还认识到了函数

国数学家哈略特(Harriot,1560-1621)应用直角坐标的概念求出了曲线的方程,法国著名的数学家费尔玛(Fermat,1601-1665)在他的《平面、立体曲线导论》中,取相交的直线建立坐标系,导出了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。法国著名数学家笛卡尔(Descartes,1596-1650)在他的《几何学》中明确地给出了点的坐标概念,由此当点P根据某特定条件运动时,它的两个坐标之间的互变关系可用曲线的方程表示。人们通常把变量概念的引入和解析几何的诞生归功与笛卡尔,他确实让用代数关系式表示变化的量间的关系(主要是曲线)的方法逐渐流行起来了〔2〕。

总的说来,尽管描绘曲线方程的解析几何的方法已出现,但至少到17世纪上半叶,纯粹的函数概念并没有被提出来。但变量已引入了数学,用变量数学来描绘运动、刻画动点的轨迹无疑是人们对现实中这种变化的相依关系在认识论上的飞跃,它不仅代表了函数思想的萌芽,而且也是人们精确记录物理世界中互变关系的方法走向严密化的开端。

2　函数概念的初步形成

———从代数观念上对函数的探讨

　　函数(function)一词,最初是在莱布尼兹1673年的一篇手稿里使用的,它用来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量,如切线、法线、次切线的长度以及纵坐标等。后来莱布尼兹在他的著作《历史》(1714年)中用函数一词来表示依赖于一个变量的量,这之后函数才在与其现代概念接近的意义上逐渐流行起来

〔3〕

。汉语中的“函数”一词,是1859

年清代数学家李善兰(1810-1882)在翻译《代数学》一书时所采用的翻译名词,这种用法我国和日本一直沿续至今意义吧。

瑞士著名数学家约翰·伯努利(JohnBernoulli,1667-1748)1718年给函数下了如下定义:由任一变

〔2〕

。之所以取这个名字,大概是因为

“函”和“含”谐音,取“一个式子中含有数字符号”的

自然辩证法研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第17卷　第3期必须有解析的表达式———或者是有限的多项式,或者是无穷级数。从数学角度讲,用确定的解析式来表达函数是它正当的要求。但问题正出于此,函数是否一定有解析式,解析式是否一定唯一,傅立叶、狄里赫莱(Dirichlet,德,1805-1859)等,还有欧拉、拉格朗日等人的工作再次证明了当下对函数概念理解的局限性,并由此开始了对函数的进一步探讨

〔6〕

量就叫做这个自变量的函数。”在这个定义中,柯西对函数的解析表达式做了较少地限制,而着重从变量之间的对应变化关系着手叙述了函数的概念。尽管如此,柯西仍然希望用“自变量”来表示“其他的量”〔2〕〔6〕。

著名的狄里赫莱函数的出现无疑是给柯西出了个难题,它是数学家狄里赫莱发明的:当自变量x为有理数时,y取1;当自变量x为无理数时,y取0。这个函数是不容易用解析式来表达的。所以1837年狄里赫莱也给函数下了一个定义:如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应,那么y就是x的一个函数,至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x,或者y依赖于x是

〔7〕

否可用数学运算来表达,那都是无关紧要的。

。

3　函数概念的确立———用对应的眼光重新审视

　　18世纪后半叶在关于弦振动问题的大讨论中,欧拉和拉格朗日开始允许函数在不同的区域上有不同的表达式,而这样又导致函数在连续性上破绽百出,这一切促使欧拉、拉格朗日、达兰贝尔(d'Alem-bert,法,1717-1783)等数学家们不得不重新考虑函数的概念〔6〕。

傅立叶的工作更根本地改变了函数的面貌,震惊了当时的数学界。他一方面认为有限区间上的函数未必仅有唯一的表达式,另一方面又认为函数必须用解析式来表达,这靠他发明的傅立叶级数理论来支持。他证明了任意以π为周期的一个函数f(x)在[-π,π]可以由

∞

a0

+(ancoskx+bnsinkx)f(x)=2k=1

这个定义和我们现在中学教科书中的函数概念已经很接近了,它不仅把变量之间的关系描述为对应变化的关系,而且就函数的解析表达式也做了讨论,使我们对函数概念的认识在严密性上又做了一次飞跃。

在此基础上,柯西、黎曼(Riemann,德,1826-1866)、波尔查诺(BernhardBolzano,捷克,1781-1848)、维尔斯特拉斯等围绕函数概念,广泛地研究了函数的连续性、可微性、可积性、闭区间上函数的最大值和最小值等问题,极大地推动了分析学的发展。

∑

π

展开,其中

ak=bk

f(x)coskxdx

1=f(x)sinkxdxπ-ππ-π

14　函数概念的再次发展———从集合论上探讨函数概念

　　19世纪末20世纪初,把函数看作一种对应或者映射的思想已经完成。随着数学研究方法和研究领域的迅速发展,这种映射的自变量、应变量的取值范围也在不断地发生变化。如果说前面两个世纪的人们把更多的注意力投放在函数的解析式上,那么20

x世纪的数学家开始关注自变量的取值范围,这不仅是因为实际问题给数学提出了相应的课题,更主要的是20世纪初诞生的集合论彻底地改变了人们思考问题的方式。

其实早在18世纪,约翰·伯努利、欧拉等人在最速降线等问题的研究中就拓广了自变量的取值范围,他们允许自变量取函数,从而开创了泛函分析的研究。这之后,把函数自变量的取值范围从实数域扩大到了复数域,相应地就有了实变函数论和复变

　　后来人们又证明了不仅仅周期函数,任一连续函数在(-π,π)上都可以用正弦或余弦函数给出。后来著名的数学家柯西也发现了即使在简单函数中也存在着表达式不唯一的情形,如

y=x,x≥0

和y=

y=-x,x<0

　　看来,函数解析式唯一的论断是站不住脚了。柯西在他1821年所写的《解析教程》以及1823年所写的《微分学纲要》中给出了函数的如下定义:“当变量之间这样联系起来的时候,即给定了这些变量中的一个值,就可以决定所有其它变量的值的时候,人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的,这时这个量就取名为自变量,而由这自变量表示的其它

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　函数概念300年函数论的区分。再有自变量在一个区间上的取值情况变得复杂起来,它有时可以无限制地取遍该区间上的所有值,有时必须按特定条件取值,新的情况促使人们寻找新的视角来定义函数的概念〔6〕。

从19世纪70年代开始,康托尔(Cantor,德,1845-1918)在证明了任意函数都可以唯一地展成傅立叶级数后,发表了一系列的文章,系统地分析和刻画了实数的连续性和无穷集合的性质,从而开创了一个崭新的数学分支———集合论。没有用多少年,到20世纪初,集合论的思想和方法就开始深入到数学的各个领域,著名的数学家庞加莱(H.Poincare,法,1854-1912)在1900年的国际数学家大会上宣布:“由于有了集合论,现在我们可以说,数学的完全严格性已经达到了”

〔8〕

达到了它空前的严密化程度,这不仅是函数自身的进步,也是数学整体的丰富和发展。

5　函数概念的

进一步发展并没有结束

　　从17世纪末18世纪初函数概念明确提出来以后,函数概念经过了300多年的严密化历程,才发展到现在相对比较完善的地步。从对现实问题中相依变化的关系中提炼出变量,然后就是函数概念的萌芽,到函数概念的初步形成,在这样的过程中,支配当时人们头脑的是“拿来主义”。当函数概念被大量地应用之后,人们逐渐地发现了它本身以及它所带来的一些问题,各个时代人们都在极力地去解决它们,并使函数概念达到相应严密的程度。虽然人们为他们各自取得的成功沾沾自喜过,但到头来终是喜忧参半。可是无论如何,函数概念还是义无返顾地前进了。

20世纪初,数学已经发展成为一个非常庞大的领域,当时的数学家们把这座大厦的根基建立在数理逻辑和集合论的基础之上。最先是康托尔本人发现了集合论内部的一些矛盾,稍后是罗素悖论使整个数学大厦动摇了。全部数学的基础尚且存在着如此明了的破绽,那么建立在它之上的数学的可信度会是怎样的呢!怀疑、彷徨、伤心笼罩着数学界。德国数学家弗雷格(G.Frege,1848-1925)在快要完成他的《论数学基础》第二卷时,曾这样描述自己由于罗素悖论而陷入的困境:“对于一个科学家来说,没有一件事比下列事实更为扫兴了,即当他的工作快要完成的时候,突然它的一块基石崩塌下来。当本书的印刷快要完成时,罗素先生给我的一封信也使我陷入同样的境地。”罗素的类型论、策梅罗的公理集合论以及更为广泛的公理集合论和希尔伯特的形式化系统稍稍缓和了数学界的惊恐,但稍后歌德尔的不完全性定理再次告知人们,追求理想中的严密性还仍然只是一个梦〔8〕〔9〕。

当20世纪的人们为函数概念所取得的胜利欢呼的时候,它所赖以定义的集合论发生了危机。集合论的一些悖论和歌德尔的不完全性定理再次证明,函数概念严密化的道路仍然还很漫长。

。

所以用集合论的语言重新叙述函数的定义,成了进一步严密它的最好途径。布尔巴基学派1939年给出了函数的一个较完整的定义:设E和F是两个集合,它们可以不同,也可以相同。E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数,如果对每一个x∈E,都存在唯一的y∈F,它满足跟x的给定关系。我们称这样的运算为函数,它以上述方式将跟x有给定关系的y∈F与每一个x∈E相联系。我们称y是函数在元素x处的值,函数由给定的关系所确定。两个等价的函数关系确定同一个函数。这个定义之所以在严密性上优越于先前的函数概念,一方面在于它用集合的语言定义了自变量、应变量的取值范围和它们的对应法则———关系;另一方面在于该定义中不含未定义的概念,如19世纪的函数概念中都含有“对应”,而究竟什么是“对应”数学中并未定义过它,而该定义中的“关系”是经过严格定义的

〔5〕

。

我们现在通用的函数定义是:设集合X、Y,定义X与Y的积集X×Y如下:X×Y={(x,y) x∈X,y∈Y}。积集X×Y中的一子集R称为X与Y的一个关系,若(x,y)∈R,则称x与y有关系R,记为xRy,若(x,y)不属于R,则称x与y无关系R。现设f是x与y的关系,即f包含于X×Y,如果(x,y)、(x,z)∈f,必有y=z,那么称f为X到Y的映射或函数。

上面两个函数的定义,都是从集合论的角度来对它的阐述,它们力图从数学中已经定义的概念出发,用数学自身的逻辑及其特有的抽象,使函数概念

参考文献

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自然辩证法研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第17卷　第3期

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300YearsEvolutionofFunctionalConcept

LIPeng-qi

(NankaiUniversityMarxismEducationCollege,Tianjin300071,China)

Abstract:Functionalconceptisoneofthemostimportantconceptsinthefieldofmathematics.Thisarticlediscussestheevolution

offunctionalconceptinmorethan300yearsfromlate17thcenturytillnow,andillustratesthattheattempttobestricthasbeenstimulatingitsdevelopment.Intermsofthefactthattobestrictisaprogressiveandunavoidablehistoricalprocess,thehistoryoffunctionalconceptreflectsthedevelopmentalhistoryofthewholemathematics.

Keywords:function;tobestrict　　(上接第29页)

(本文责任编辑　王建军)

学技术出版社,1980.10-43,11.

〔6〕FrancisBacon.NovunOrganum[M].(1620).book

1.aphorism3.editedby.JosephDevey(P.F.Collier,1901)

〔7〕DonaldEStokes.Pasteur'sQuadrant:BasicScience

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〔8〕马克斯恩格斯全集(第23卷)[M].北京:人民出

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〔9〕转自马克思.资本论(卷1)[M].北京:人民出版

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〔3〕MW瓦托夫斯基.科学哲学导论[M].北京:求实

出版社,1982-84.

〔4〕〔5〕TS库恩.科学革命的结构[M].上海:上海科

AboutthePhilosophyThinkingofthe

“Thansform”inScienceTechnicalization

ZHOUChun-yan

(TheOfficeofSubjectBuilding,ShenyangUniversity,Shenyang110044,China)

Abstract:Fromthevisualangle,the“thansform”ofScienceTechnicalizationwasprobed,inthispaper.Itmainlymentionedon-tologyandtheoryofknowledge.Specially,the“know”and“act”aswellastherelationbetweentheminScienceTechnicalizationwasresearched.

Keywords:science;technology;sciencetechnicalization

(本文责任编辑　缪音征)