浅析矩阵的秩_罗雪梅[1]

Vol.6,No.2高等数学研究　　　　　　　　　　　　　　　　　　Jun.,2003　　　　　　　　　　STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICS33辅导篇

浅析矩阵的秩

罗雪梅　孟艳双　郑艳琳(山东科技大学　济南　250031)

1.引言

线性代数的特点之一是其概念多、定理多,从而题目所涉及到的类型也多,给初学者带来很多困难。本文以矩阵的秩为例,通过分析矩阵的秩在线性代数中的诸多作用,逐步加深对这一概念本质的理解,进而真正掌握矩阵的秩并能灵活地运用它解决各种有关问题。

定义1　矩阵A中非零子式的最高阶数叫做矩阵A的秩,记作R(A)。

从定义上看,一个矩阵的秩,就是一个数,但这个数在线性代数中的作用非同一般。

2.矩阵的秩在讨论方阵中的作用

对于一个方阵A,判断A是否可逆及A可逆时的一些特性,是线性代数中的重点之一。矩阵的秩在此起着重要的作用。

定理1　设A,B,C均为n阶方阵,则有:

(1)A可逆 R(A)=n |A|≠0;

(2)R(A)+R(B)-n≤R(AB)≤min(R(A),R(B))

(3)当R(A)=n时,R(BA)=R(BA)=R(B);

(4)当R(A)=n时,若AB=C,则B=A-1C;若AB=O,则B=O;

(5)若n≥2,则A的伴随矩阵A的秩与A的秩有如下关系:

n　当R(A)=n

R(A*)=1　当R(A)=n-1

0　当R(A)≤n-2

　　下面仅证(5)(其他结论一般教科书上都有):

*证明1)当R(A)=n时,A可逆,从而|≠0,由AA*=|=|·A|A|I两边取行列式得|AA|A|

nn-1|A*|=|A|,因为|A|≠0,所以|A*|=|A|≠0,故R(A*)=n。

2)当R(A)=n-1时,A中至少有一个n-1阶子式不为零,即A中至少有一个元素不为零,

*所以R(A*)≥1;另由R(A)=n-1知|=0,从而AA*=|A|A|I=O,由定理1知:R(A)+R(A)

≤n,从而R(A)=n-1时R(A*)≤1,故R(A*)=1。

3)当R(A)≤n-2时,A的全部n-1阶子式均为零,即A*=O,故R(A*)=0。

3.矩阵的秩在线性方程组问题中的作用

线性方程组问题是线性代数的核心之一。它要解决的问题不外乎三个:

1.方程组是否有解?

2.方程组有解时,解的个数是多少?

3.如何求出解?对于上述三个问题,无一不与矩阵的秩有关,即有下面的结论:

定理2　设有线性方程组AX=B,

其中A=(aij)m×n,X=(x1,x2,…,xn)T,B=(b1,b2,…,bn)T则有

**(1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高等数学研究　　　　　　　　　　　　　　　　　2003年6月34

1)线性方程组(1)有解 R(A)=R(A|B),即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩;2)线性方程组(1)有唯一解 R(A)=R(A|B)=n(n为未知数的个数);3)线性方程组(1)有无穷多组解 R(A)=R(A|B)<n。

显然,定理2回答了前两个问题,对于第三个问题,则只须对其增广矩职继续施行行初等变换,直到将它变成如下形式:

(A|B)→…→

Ir*O

O

,其中r=R(A)=R(A|B)

从而很容易写出方程组的解,且解中含有n-r个自由变量。

例1　当c、d取何值时,线性方程组

x1+x2+x3+x4+x5=13x1+2x2+x3+x4-3x5=cx2+2x

3+2x4+x4+6x5=35x1+4x2+3x3+3x4-x5=d

无解?有解?有解时

,求出其一般解。

解　对增广矩阵作一系列行初等变换:

1305

112112431000

从而有:

1)当c≠0或d≠2时,R(A)≠R(A|B),故方程组无解(这时方程组中含有矛盾方程);2)当c=0且d=2时,R(

A)=R(A|B)=2<n=5,故方程组有无穷多组解,且解中含有n-r=5-2=3自由变量。(这里秩r=2说明原方程组中只有两个方程是有用的方程)

。

3)为求出一般解,继续对增广矩职施行行初等变换,并将c=0,d=2代入得:

1000

1100

11220000

160

133

→

1000

0-1-1-5100

200

200

600

-300

121010

1611002200

106→

10001c3

→11

1211010000

120012112600

16

13c

1c-3

→

1-3c3

-1-1-2-2-6

-1-2-2-6d-0d-00d-0d-x1=x3+x4+5x5-2,

x2=-2x3-2x4-6x5+3,k1,x4=k2,x5=k3,则　　　

其中x3、x4、x5为自由变量,它们可以取任意的实数。若令x3=

第6卷第2期　　　　　　　　　　　罗雪梅　孟艳双　郑艳琳:浅析矩阵的秩　　　　　　　　　　　　　　35

x1=k1+k2+5k3-2

x2=-2k1-2k2-6k3+3

x3=k1

x4=k2

x5=k

3

　　4.矩阵的秩在向量组的线性相关性问题中的作用

向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念,它既是线性代数的重点,又是一个难点。它与矩阵的秩也有不可分割的联系。

定义2　向量组的极大无关组所含向量的个数,称为该向量组的秩。

定义3　m维向量组T1,T2,…,Tn(n≥1)称为线性相关,如果存在不全为零的数k1,k2,…,kn使得

k1T1+k2T2+…+knTn=0

成立;否则,称向量组T1,T2,…,Tn为线性无关。

由定义3知,一个向量组是线性相关,还是线性无关,等价于相应的齐次线性方程组(2)是否存在非零解,从而等价于(2)的系数矩阵A的秩是小于还是等于n。即有:

向量组T1,T2,…,Tn线性相关 R(A)<n;

向量组T1,T2,…,Tn线性无关 R(A)=n。

因此,矩阵的秩在向量组的线性相关性问题中,刻划的是向量组的极大无关组所含向量的个数。

5.矩阵的秩在特征值和二次型问题中的作用矩阵的特征值和二次型问题是线性代数的重要内容,它们都与矩阵的秩有关。

定义4　设A为n阶方阵,如果数λ和n维非零向量X,使AX=λ为A的一个X成立,则称λ

特征值,X为A的对应于特征值λ的特征向量。

一个方阵A的特征值与A的秩有何关系呢?

定理3　n阶方阵A的特征值全不为零 R(A)=n(即方阵A为满秩的,或|A|≠0)。换言之,方阵A的特征值至少有一个为零 R(A)<n(即方阵A为降秩的,或|=0)。A|

证明　设n阵方阵A的特征值为λ1,λ2,…,λn,只须证:λ1λ2…λn=|A|,则命题得证。

由于数λ和非零向量X使AX=λX成立 齐次线性方程组(λI-A)X=0有非零解 系数行列式|λI-A|=0。由于|λI-A|是关于λ的n次多项式,不妨设

f(λ)=|λI-A|=λ+a1λ++an-1λ+an

由题设知:

f(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)=

nn-1λ-(λ1+λ2+…+λn)λ+…+(-1)nλ1λ2…λnnn-1为所求一般解(其中k1、k2、k3为任意实数)。(2)(3)

比较上述多项式同次幂系数知:

an=(-1)nλ1λ2…λn

又在(3)中若令λ=0,则f(0)=|-A|=(-1)n|=anA|

比较(4)(5)可得:|A|=λ1λ2…λn

故方阵A的特征值全不为零 λ1λ2…λn=|A|≠0 R(A)=n

定理4　设λ为n阶方阵A的特征值,则有:(4)(5)证毕(下转第62页)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　高等数学研究　　　　　　　　　　　　　　　　　2003年6月62

用初始条件得所求解为y=ex-e-x-sinx。2

例8　(数一)　用汽锤打桩,设土层对桩的阻力与桩被打进地下的深度成正比。汽锤第一次击打将桩打进地下am。而汽锤每次击打桩时所作功与前一次击打所作功之比为小于1的常数r。问

(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?

(2)击打次数不限,汽锤最多能将桩打进地下多深?

解　(1)　设第一次击打所作的功是W,则

W=∫a

kxdx=022a

记击打三次桩入地深为x3,汽锤作功为W+rW+r2W

x322故　(1+r+r)W=0kxdx=x3,得2

x3=1+r+ra(m)∫

　　(2)次数不限时汽锤作功为

(1+r+r2+…+rn+…)W=

即深度最多超不过=1-r∫kxdx=0x2x,x=21-rm。1-r

例9　(数二)　有一容器,其内侧壁是由曲线x=h(y)(y≥0)绕y轴旋转的曲面(如图)。容器底面半径2m。当以3m3/min的速率向器内注入液体时,液面面积以cm2/min的速率均匀扩大,求曲线x=h(y)的方程。

解　本题其实是相关变化率的反问题。要求h(y),先求其与y的关系。引入时间参数t,不妨设

(0)=2(y=0)。则当t时刻液体升至y高度时,注入的液体体积为t=0时,h

22c0h(y)dy=3t,液面面积为ch(y)=4c+ct,

22消去参数t得　c0h(y)=3h(y)-12

2两边对y求导　得　c(y)h′(y)h(y)=6h∫y∫y

解得　h(y)=ce　　h(0)=2故c=2,从而h(y)=2(上接第35页)cycy(待续)

-1*(1)当R(A)=n时,λ为A的特征值;λ|A|为A的特征值;

*(2)当R(A)=n-1时,λ=0为A的n-1重特征值;A11+A22+…+Ann(Aii是|A|中aii的代

数余子式)是A单特征值;

(3)当R(A)≤n-2时,λ=0为A的n重特征值。(证明略)

在二次型f(X)=X′AX中,更是把二次型所对应的对称矩阵A的秩定义为该二次型的秩。这时R(A)所刻划的则是二次型的标准形中所含平方项的个数。虽然任意一个实二次型总能通过不同的变换将其化为不同的标准形,但是其任何一个标准形中所含平方项的个数都是相同的,这个不变的个数恰好就是R(A)。**