2010年全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答
上传者：冯金生|上传时间：2015-05-06|密次下载
2010年全国大学生数学专业及高等数学竞赛试题及解答
1
（1）计算积分
2 2
2
0
, 0 , 0 .
x x
e e
d x
x
解 方法一 直接利用分部积分法得
2 2
2
0
x x
e e
d x
x
2 2
0
1
( ) ( )
x x
e e d x
x
2 2
0
1
( 2 2 ) ( )
x x
x e x e d x
x
2 2
0
( 2 2 )
x x
e e d x
)
2 2
( 2
) ( ；
方法二 不妨设0 ，由于
dy e
x
e e
yx
x x
2
2 2
2
，
而积分
2
0
y x
e d x
关于y 在[ , ] 上一致收敛，故可交换积分次序
2 2
2
0
x x
e e
d x
x
2
0
y x
d x e d y
2
0
y x
d y e d x
dy
y
2
1
) ( ；
方法三 将 0 固定，记
2 2
2
0
( ) , 0
x x
e e
I d x
x
， 可证 ( ) I 在( 0 , ) 上收敛．
设 [ , ) , 0 ， 因为
2 2
x x
e e
，而
2
x
e d x
＋
０
收敛，
所以由Weierstrass 判别法知道
2
x
e d x
＋
０
对 [ , ) 一致收敛．所以可以交换
微分运算和积分运算的次序， 即
2 2
2
0
( ) ( )
x x
e e
I d x
x
2
0
( )
x
e d x
1
2
．
由 的任意性，上式在( 0 , ) 上成立．
所以 ( ) I C ，由于 ( ) 0, , I C 所以 ) ( ) (
I ，
即
dx
x
e e
x x
0
2
2 2
) ( ．
(2)若关于x 的方程
2
1
1 k x
x
， 0 k 在区间 0 , 内有唯一的实数解，求常数k .
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