第四章 数字特征

概率论与数理统计教案

第四章 数字特征

前面讨论了随机变量及其分布，如果我们知道了随机变量 X 的概率分布，那么，关于 X 的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布是较难确定的，且有时在实际应用中，我们并不需要知道随机变量的所有性质，只要知道其一些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定随机变量的某些数字特征是非常重要的，最常用的数字特征是：期望和方差。

§4.1 数学期望

一、 离散型随机变量的数学期望

1. 离散型随机变量的数学期望的定义

引例： 有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表给出

甲射手 乙射手

问甲和乙谁的射击水平较高？

解: “射击水平”一般用平均击中环数来反映。所以，只要对他们的平均击中环数进行比较即可 问题：已知随机变量的概率分布, 如何计算其平均值？

分析：若甲射击N次, 设击中8环, 9环和10环的次数分别为N1，N2和N3 次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为

8?N1?9?N2?10?N3NNN3?8?1?9?2?10??8?f1?9?f2?10?f3 NNNN

由于概率是频率的稳定中心，以 E(X) 表示甲的平均击中环数, 则

E(X)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3 E(Y)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 由于E(X)>E(Y)故认为甲射手的水平较高。

可以看出：平均值是以分布概率为权重的加权平均。

定义1: 设X是离散型随机变量, 概率分布为

P{X=xk}=pk , k=1,2, …。

如果?xP?X?x?有限，则称E(X)??xkk

k?1k?1??kpk为X 的数学期望(或均值)。

例1： 有4只盒子，编号为1, 2, 3, 4。现有3个球，将球逐个独立地随机放入4只盒子中去。用X 表示其中至少有一个球的盒子的最小号码，E(X)。

解：首先求X 的概率分布。X 所有可能取的值是1, 2, 3, 4。

{X=i} 表示i号盒中至少有一个球，i=1, 2, 3, 4。

为求 P{X=1}，考虑 {X=1} 的对立事件：{1号盒中没有球}，其概率为 (3/4)3

3343?33

；因此 P{X?1}?1?3?

344

1

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{X=2} 表示 {1号盒中没有球，而2号盒中至少有一个球}， 33?233323 ；类似地得到：P{X?2}?()[1?()]? 4343

23?13132313P{X?3}?()[1?()] ?; P{X?4}?3.

34244

43?3333?2323?131325?2??3??4?3 ?.于是，E(X)?1?

16 4343434

例2: 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布表为

求随机变量X和Y的数学期望．

解： 由(X,Y)的联合分布律可得关于X、Y的边缘分布分别为

于是有

5311313E(X)?1??2?? , E(Y)?1??2??3??2888848

2． 常用离散型随机变量的数学期望

(1) 两点分布：X ? B(1, p), 0 < p < 1

因为 P(X=1)=p, P(X=0)=1-p 因此E(X)= 1?p + 0?(1-p) = p .

(2) 二项分布：X ? B(n, p)，其中 0 < p < 1

因为 P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k , k=0,1,2, …,n

因此E(X)?

n?kCk?0nknp(1?p)kn?knn!n!kn?k??kp(1?p)??pk(1?p)n?k k!(n?k)!k?0k?0(k?1)!(n?k)!n

?np?(n?1)!pk?1(1?p)(n?1)?(k?1)

k?0(k?1)![(n?1)?

(k?1)]!

2

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k?1k?1

?np?Cn(1?p)(n?1)?(k?1)?np[p?(1?p)]n?1?np?1p

k?0

n

例3：某种产品次品率为 0.1，检验员每天检验 4 次，每次随机抽取10件产品进行检验，如发现次品数大于 1， 就调整设备。若各件产品是否为次品相互独立， 求一天中调整设备次数的期望。

解：用X 表示10件产品中的次品数，则X~B(10, 0.1)，每次检验后需要调整设备的概率为

p?P{X?1}?1?P{X?1}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?0.910?10?0.1?0.99 ? 0.2639 .

用 Y 表示一天中调整设备的次数，则Y~B(n, p)，其中n=4, p=0.2639。所求期望

E(Y)?np ? 4 ?0.2639 ?1.0556.

(3) 泊松分布: X ? P(?)，其中? > 0 因为P(X?k)?

?

?k

k!

e?? k?0, 1, 2, ?

k?1k??

?k????k????e??ke???e?????e?????e??e??? 因此E(X)??kk!k!k?0k?1k?1(k?1)!k?0k!

二、 连续型随机变量的数学期望

1．连续型随机变量的数学期望的定义

定义: 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，如果积分为X的数学期望（或均值）。记作E(X)，即E(X)?说明：如果积分

例4：设随机变量X 的概率密度为f(x)?

解：E(X)?

01 ?11?|x|x?x

xe d x?xe d x?xe???2???2? 02 d x ?0. ?

?

??

??

xf(x)dx收敛，则称积分值

?

??

??

xf(x)dx

?

??

??

xf(x)dx。

?

??

??

xf(x)dx不收敛 ，则称随机变量X的数学期望不存在。

1?|x|

e ， ???x?? ，求 E(X) 。 2

例5: 设在某一规定的时间内，一电气设备用于最大负荷的时间X（单位：min）是一个随机变量，概率

x?

?150020?x?1500??3000?x

1500?x?3000 密度函数为f(x)??2

?1500

0 其它???

3

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求X的数学期望

解： 由已知可得

E(X)??xf(x)dx??????15000x?3000x3000?x?x?dx?150022?150015001500

2． 常用连续型随机变量的数学期望

(1) 均匀分布：X ~ U[a, b], 即X服从[a, b]上的均匀分布, 则 E(X)=(a+b)/2

(2) 指数分布：X ~ E(?)，即X 服从参数为 λ 的指数分布，则 E(X)=1/?

(3) 正态分布：X ~N(????)，即X 服从 N(????)，则 E(X)=?

例6：设某型号电子管的寿命X服从指数分布,平均寿命为1000小时, 计算 P{1000<X≤1200}。 解：因为 E(X) = 1/λ = 1000，得λ= 0.001，

?e?0.001x,x?0,?0.001因此X的概率密度为f(x)?? ?x?0.?0,

P(1000?X?1200}??

120010000.001e?0.001x d x?e?1?e?1.2 ?0.067.

三、 随机变量函数的数学期望

设随机变量X的分布已知，需要计算的量并非X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说是 g(X) 的期望。那么，如何计算呢？

一种方法是：由于g(X) 也是随机变量，故应有概率分布，其分布可以由X的分布求出。一旦知道了g(X) 的分布, 就可以按照期望的定义把 E[g(X)] 计算出来。

但使用该方法 必须先求出g(X)的分布。一般说来，这是比较复杂的事

那么, 可否不求g(X)的分布，而只根据X的分布来计算 E[g(X)] 呢？

答案是肯定的。且有如下公式：

设X是一个随机变量，Y=g(X)，则

??

? ?g(xk)pk X 离散型 E(Y)?E[g(X)]??k?1??g(x)f(x)dx X 连续型 ????

当X为离散型时, P(X= xk)=pk ;

当X为连续型时, X 的密度函数为 f(x)。

该公式的重要性在于：当我们求 E[g(X)]时, 不必求g(X)的分布，而只需知道X的分布足矣。这对求 g(X) 的期望带来了极大方便。

例7： 设 X ? N(0 , 1)，求 E(X2)。

解：E(X2)???

??x212?

?e?x22 d x???x2

2?2?1???x d e?x22 ??

12xex2?2?????12??edx?0?1?1.

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例 8：设国际市场上对我国某种出口商品每年的需求量是随机变量X(单位: 吨)。X服从区间[2000, 4000] 上的均匀分布。每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万元；若销售不出, 则每吨商品需贮存费1万元。求：应组织多少货源，才能使国家收益最大?

解：设组织货源 t 吨。显然，应要求2000≤t ≤4000。

国家收益Y(单位:万元)是X 的函数Y=g(X)。

表达式为g(X)?? X?t?3t ?3X?(t?X) X?t

?1， 4000]?2000x?[2000

由已知条件, 知X的概率密度函为f(x)??

? 0 x?[2000， 4000]?

?40001E[g(X)]??g(x)f(x)dx??g(x)dx ??20002000

40001?t??1(?2t2?14000t?8?106) ?(4x?t)dx?3tdx?t???2000?20002000?

可算得当 t = 3500 时， E(Y)=-2t2 + 14000t-8000000达到最大值 1.55×106。

因此，应组织3500吨货源。

设二维离散型随机向量 (X, Y) 的概率分布为 pij，i=1, 2, ? ，j=1, 2, ? .

则E[g(X,Y)]???g(x,yi

i?1j?1??j)pij.

设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为 f (x, y),

则E[g(X,Y)]?????

????g(x,y)f(x,y) dxdy.

例9：设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示，求Z=X2+Y的期望.

解：E(Z)= g(1,1)?0.125+g(1,2)?0.25+g(2,1)?0.5+g(2,2)?0.125=4.25

例10：设随机变量X和Y相互独立，概率密度分别为

?4e?4x x?0?2e?2y y?0 fX(x)?? fY(y)??0 其他,0 其他.??

求 E(XY)。

解：因 G(X,Y)=XY, X 和Y 相互独立，所以

E[g(X,Y)]??

?

0????????xyfX(x)fY(y)dxdy ???0??0xy?4e?4x?2e?2ydxdy

5 ??4xe?4xdx??

01112ye?2ydy ?? ? .428