巧用线性规划法 陈亦明,宋毅
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巧用线性规划法 陈亦明,宋毅
巧用线性规划法
顾村中学 宋毅 陈亦明 指导教师：王凤春
【问题1】已知：f(x)?ax2?bx,且1?f(?1)?2,2?f(1)?4,则f(?2)的取值范围。
【学生原有知识背景】学生曾做过如下的题目：已知：
ab2这类题目学生用2?a?3,?4?b??3,求a?b,3a?2b,,ab,的取值范围。ba
ab2不等式的性质就可以解决。只是在求,ab,的范围时，要注意先将ba
b变正，再进行乘除。1?f(?1)?2,2?f(1)?4,
【学生的错误解法】基于原有知识结构，学生会如此解：由
?1?a?b?2(1)31?f(?1)?2,2?f(1)?4,得?由[(1)?(2)]?2得?a?3；由2?2?a?b?4(2)
[(2)?(1)]?2得0?b?3；所以3?4a?2b?12 即3?f(?2)?12。 2
【分析学生的解法】a、b的范围求的对，但a?3时b?0，导致f(?2）取不到12；在a?时b?，导致f(?2）取不到3。学生的解法无法考虑到a、b是否能同时取到，以致所求的范围过大。因此对于不等式的性质，关键是要正确理解和运用，对不等式的每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件的加强和放宽，条件和结论之间的关系。
【正确的解法】设f(?2)?mf(?1)?nf(1)，即4a?2b?m(a?b)?n(a?b)，得m?3,n?1，f(?2)?3f(?1)?f(1)，所以5?f(?2)?10。
这样的解法学生能听懂，但不会自
己用。只有解释清楚为什么错，
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1
生才能将错误的解法从原有知识结构中剔除。
令a?x,b?y，那么??1?a?b?2(1)?1?x?y?2(1)就可以写成?，解的区?2?a?b?4(2)?2?x?y?4(2)域是平行四边形ABCD（如图）。令4x?2y?t，则y?2x?。直线系t
2
t31y?2x?由上向下与平行四边形ABCD先接触的点为A(,)，最后222接触的点为C(3,1)，将A、C代入4x?2y?t得5?t?10，即5?4a?2b?10，因此5?f(?2)?10。
【练习】1、已知函数f(x)?ax2?c满足?4?f(1)??1,?1?f(2)?5,则f(3)的取值范围是 。?1?f(3)?2
2、已知：?3?a?2,?b?2a,c?b?2a,求c的取值范围。
【反思】结合图形计算器用线性化法很容易解释a?3时b?0；
33a?时b?，学生就容易知错了，也就容易记住正确的做法。对知识22a3
之间的相互沟通的研究如同修路架桥一样重要。
2
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