专题四之开放性试题

中考专题5——探索性问题:

1、条件探索型：总体思路是采用分析法，把结论看作已知进行逆推，探索结论成立需要的条件．

，CD相交于点O，AE?AD，要使【例1】点D，E分别在线段AB，AC上，BE

△ABE≌△AC，需添加一个条件是D．【例2】求出一个二次函数，使得当时，当时，当时.

【练习】1。P(x，y)位于第二象限，并且y≤x?4(x，y为整数)写出符合上述条件的点P的坐标______：．2. M,N,P,Q分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，当四边形ABCD满足条件 时，四边形MNPQ为矩形；

3.关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和为？若存在，求出满足条件的负数值，若不存在，请说明理由？

2、结论探索型：解这类探索题的总体思路是先假定结论存在，并以此进行推理．

【例1】 如图①，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD，垂足为D．(1)求证：AC2=AB·AD； (2)若将直线CD向上平移，交⊙O于C1、C2两点，其他条件不变，可得到图②

所示的图形，试探索AC1、AC2、AB、AD之间的关系，并说明理由；(3)把直线C1D继续向上平移，

使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A、B重合），其他条件不变，请你在图③中画出变化后的图形，

标好字母，并试着写与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明。

【例2】 如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形______________；理由是：

__________.

（2）如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应的图形；

（2）说明方案设计理由．

【练习】（1）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．

（2）请你写一个先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解的结果 ．

（3）已知E、F为平行四边形ABCD对角线DB的三等分点，连结AE并延长交CD于P，连结PF并延长交AB于Q．猜测AQ、BQ间的关系是 ．猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？

3、存在性探索型

【例1】如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y

3．（1）4

判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D

处．已知折痕CE?tan?EDA?存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由． 例2 如图，已知O为坐标原点，∠AOB=300，∠ABO=900，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．

【练习】1。已知：抛物线y=-(x-m)2+1与x轴相交于A、B（B在A的右边），与y轴的交点为C．当点B原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

2．在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴的负半轴上，

2，点P在线段OC上，且PO、PC的长（PO<PC）是方程x-12x+27=0的两根．（1）求P点的坐标；（2）求AP的长；（3）在轴上是否存在点Q，使得以A、C、P、Q为项点的四边形是梯形？若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由

3．已知二次函数y=ax+2x+3的图象与轴交于点A、点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，其项点为D，直线DC的函数关系式为y=kx+3，又tan∠OBC=1．（1）求a,k的值；

（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B、C不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．已知两点A（-1，0）、B（4，0）在x轴上，以AB为直径的半圆P交y轴于点C．

（1） 求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设AC的垂直平分线交OC于D，连结AD并延长AD交半圆P于点E，相等吗？请证明你的结论；（3）设点M为x轴负半轴上一点，，是否存在过2点M的直线，使该直线与（1）中所得抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线对应函数的解析式；若不存在，请说明理由．

4.规律探索型(自己看，有答案)

1.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆【答案】46．

…

第1个图形

2.已知an?第2个图形 第3个图形 第4个图形 1(n?1，2，3...)，记b1?2(1?a1)b2?2(1?a1)(1?a2)，…bn?2(1?a1)(1?a2)...(1?an)，则通2(n?1)

n?2 n?1

3．如图，边长为1的菱形ABCD中，?DAB?60?．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，

使 ?D1AC?60?；连结AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使 ?D2AC1?60?；……，按此过计算推测出bn的表达式bn＝_______．(用含n的代数式表示)【答案】规律所作的第n个菱形的边长为 ．3.【答案】

3?n?1a3n?14.【答案】(?1) nn

D1

a5a8a11

4．一组按一定规律排列的式子：－a，，－，，…，（a≠0）则第n个式子是_▲_（n为正整数）． 2342

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课后思考[中考提速]

1．如图2－6－20所示，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线DE，交 BC于 D，交AB于E，F在DE

上，并且A F＝CE．⑴ 求证：四边形ACEF是平行四边形；

⑵ 当∠B的大小满足什么条件时，四边形A CEF是菱形？请回答并证明你的结论；

⑶ 四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

2． 如图2－6－16所示，在正方形ABCD中，AB=1，AC是以点B为圆心．AB长为半径的圆的一段弧点E是边

AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点．⑴ 当 ∠DEF

○＝45时，求证点G为线段EF的中点；

⑵ 设AE=x， FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出函数的定义域；

⑶ 图2－6－17所示，将△DEF沿直线EF翻折后得△ D1EF，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。（图2－6－18为备用图）

3．如图2－6－15所示，DE是△ABC的中位线，∠B＝90○，AF∥B C．在射线A F上是否存在点M，使△MEC与△A DE相似？若存在，请先确定点M，再证明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．

4．如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；

(2)如图2－6－2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；