2015年全国各地中考数学压轴题集锦答案

2014年全国各地中考数学压轴题集锦答案

1．（北京模拟）已知抛物线y＝－x＋2x＋m－2与y轴交于点A（0，2m－7），与直线y＝2x交于点B、C（B在C的右侧）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得∠BFE＝∠CFE，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由； 2

（3）动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于

坐标轴），设运动时间为t秒．若△PMQ与抛物线y＝－x＋2x＋m－2有公共点，求t的取值范围．

2解：（1）把点A（0，2m－7）代入y＝－x＋2x＋m－2，得m＝5

2∴抛物线的解析式为y＝－x＋2x＋3

2??y＝－x＋2x＋3?x1＝3?x2＝3?（2）由 解得? ? ?y＝2x??y1＝3?y2＝－23∴B3，3），C（－3，－3）

22∵y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4

∴抛物线的对称轴为x＝1

设F（1，y）

∵∠BFE＝∠CFE，∴tan∠BFE＝tan∠CFE 3－13＋1当点F在点B＝ y－2y＋23

解得y＝6，∴F（1，6）

3－13＋1当点F在点B＝ 23－y－y－3

解得y＝6（舍去）

∴满足条件的点F的坐标是F（1，6） （3）由题意，OP5t，OQ＝5t，∴PQ5t ∵P、Q在直线直线y＝2x上

∴设P（x，2x），则Q（2x，4x）（x＜0） 2

∴x ＋4x ＝5t，∴x＝－t

∴P（－t

，－2t），Q（－2t，－4

t）

∴M（－2t，－2t）

2当

M（－2t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－4t－4t＋3

13－1 42当P（－t，－2t）在抛物线上时，有－2t＝－t－2t＋3

解得t＝3（舍去负值） 解得t＝ ∴t 13－1t≤3 4

2．（北京模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y1＝ax＋3x＋c经过原点及点A（1，2），与x轴相交于另一点B．

（1）求抛物线y1的解析式及B点坐标；

（2）若将抛物线y1以x＝3为对称轴向右翻折后，得到一条新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为C点．动点P从O点出发，沿线段OC向C点运动，过P点作x轴的垂线，交直线OA于D点，以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF． ①当点E落在抛物线y1上时，求OP的长；

②若点P的运动速度为每秒1个单位长度，同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动，速度为每秒2个单位长度，当Q点到达O点时P、Q两点停止运动．过Q点作x轴的垂线，与直线AC交于G点，以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN．当这两个正方形

2

解：（1）∵抛物线y1＝ax＋3x＋c经过原点及点A

（1，2） 2

???c＝2?a＝－1?∴ 解得? ?a＋3＋c＝2?c＝0?? ∴抛物线y1的解析式为y1＝－x＋3x 2令y1＝0，得－x＋3x＝0，解得x1＝0，x2＝3 ∴B（3，0） （2）①由题意，可得C（6，0） 过A作AH⊥x轴于H，设OP＝a 2

可得△ODP∽△OAH

DPAH＝＝2 OPOH

∴DP＝2OP＝2a

∵正方形PDEF，∴E（3a，2a）

∵E（3a，2a）在抛物线y1＝－x＋3x上 2

72∴2a＝－9a＋9a，解得a1＝0（舍去），a2＝ 9

7∴OP的长为 9

②设直线AC的解析式为y＝kx＋b

??2＝k＋b212∴? 解得k＝－，b＝

55?0＝6k＋b?

212

∴直线AC的解析式为y＝－x＋

55

由题意，OP＝t，PF＝2t，QC＝2t，GQ＝当EF与MN重合时，则OF＋CN＝6 ∴3t＋2t＋

4

t 5

430

t＝6，∴t＝ 529

当EF与GQ重合时，则OF＋QC＝6 6

∴3t＋2t＝6，∴t＝

5

当DP与MN重合时，则OP＋CN＝6 430

∴t＋2t＋t＝6，∴t＝519

当DP与GQ重合时，则OP＋CQ＝6

∴t＋2t＝6，∴t＝2

3．（北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax＋bx＋4经过A（－3，0）、B

（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC．动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

解：（1）∵抛物线y＝ax＋bx＋4经过A（－3，0）、B（4，0）两点

2

??9a－3b＋4＝011∴? 解得a＝－，b＝33??16a＋4b＋4＝0

121

∴所求抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4

33

（2）连接DQ，依题意知AP＝t

∵抛物线y＝－

121x＋x＋4与y轴交于点C 33

∴C（0，4）

又A（－3，0，B（4，0）

可得AC＝5，BC＝2，AB＝7

∵BD＝BC，∴AD＝AB－BD＝7－4

∵CD垂直平分PQ，∴QD＝DP，∠CDQ＝∠CDP

∵BD＝BC，∴∠DCB＝∠CDB

∴∠CDQ＝∠DCB，∴DQ∥BC

ADDQ∴△ADQ∽△ABC，∴＝ABBC

7－42ADDPDP∴＝，∴＝ABBC742

解得DP＝2－ 3217，∴AP＝AD＋DP＝ 77

∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为

（3）设抛物线y＝－ 17 7

1211x＋x＋4的对称轴x＝与x轴交于点E 332

由于点A、B关于对称轴x＝

1对称，连接BQ交对称轴于点M 2

则MQ＋MA＝MQ＋MB，即MQ＋MA＝BQ

当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM＝∠ACO

3∴tan∠EBM＝tan∠ACO＝ 4

∴

ME3ME321＝，即 ＝，解得ME＝BE41484－2

121∴M（， 28

121∴在抛物线的对称轴上存在一点M（，，使得MQ＋MA的值最小 28

4．（北京模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．动点P从点A出发，沿AC→CB→BA边运动，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位．直线l从与AC重合的位置开始，以每秒

4个单位的速度沿CB方向移动，移动过程中保持l∥AC，3

且分别与CB、AB边交于点E、F．点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动．

（1）当t＝_________秒时，点P与点E重合；当t＝_________秒时，点P与点F重合；

（2）当点P在AC边上运动时，将△PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点P′ 落在EF上，点F的对应点为F′ ，当EF′⊥AB时，求t的值；

（3）作点P关于直线EF的对称点Q，在运动过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，求t的值；

（4）在整个运动过程中，设△PEF的面积为S，直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值．

l

A B A B

备用图 解：（1）3；4.5

提示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8 ∴AB＝

6＋8＝10，∴sinB＝

AC3BC4AC3

＝，cosB＝＝，tanB＝＝ AB5AB5BC4

Pl

当点P与点E重合时，点P在CB边上，CP＝CE

∵AC＝6，点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位 ∴点P在AC边上运动的时间为2秒，CP＝4(t－2)

∵CE＝

44

t，∴4(t－2)＝t，解得t＝3 33

当点P与点F重合时，点P在BA边上，BP＝BF

∵AC＝6，BC＝8，点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位 ∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒，BF＝BP＝5(t－4)

A F B

∵CE＝

44t，∴BE＝8－t 33

在Rt△BEF中，8－

BE

＝cosB BF

4t34

∴＝，解得t＝4.5

55(t－4)

l

A

(PB

（2）由题意，∠PEF＝∠MEN ∵EF∥AC，∠C＝90°，∴∠BEF＝90°，∠CPE＝∠PEF ∵EN⊥AB，∴∠B＝∠MEN

∴∠CPE＝∠B，∴tan∠CPE＝tanB CEAC3

∵tan∠CPE＝，tanB＝＝

CPBC4

A

N l

∴

CE34

＝，∴CP＝CE CP43

B

∵AP＝3t（0＜t＜2），CE＝

4

t，∴CP＝6－3t 3

4454

∴6－3t＝×t，解得t＝

3343

（3）连接PQ交EF于O

∵P、Q关于直线EF对称，∴EF垂直平分PQ 若四边形PEQF为菱形，则OE＝OF＝

1EF 2