2015年浙江省高中数学竞赛试卷

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）

x2y2

1．“a =2，

b?”是“曲线C：2?2?1(a,b?R,ab?

0)经过点

ab

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A.

”的( A )．

?

x2y2

解答：当a =2，

b?曲线C：2?2?

1经过

ab

点

x2y2

；当曲线C：2?2?1经过

ab

?

时，即有

?

21

?2?1，

显然a??2,b?所以“a =2，

b?”2

ab

x2y2

是“曲线C：2?2?

1经过点

ab

”的充分不必要条件。

?

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为m,m?1,m?2，则实数m的取值范围为( B )．

A． m?1 B． 1?m?答案：B.

解答：由题意可知：

A1

33

C．?m?3 D．m?3 22

1

?m?(m?1)?m?23

1?m?解得。 ?222

2?(m?2)?m?(m?1)?m(m?1)

3． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点， 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C )． A．

第3题图

1

B． C．

D

2

答案：C.

解答：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

1D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,)

2

，且平面

ACD1的法向量为

n1?(1,1,1)，平面MCD1法向量为n2?(?

1,2,2)。因此cos?n1,n2??

M-CD1

-A，即二面角。 ?a?b?2?0a?2b?4．若实数a,b满足?b?a?1?0，则的最大值为 ( C )． 2a?b?a?1?

A． 1 B．

答案：C.

解答：由a,b满足的条件知1?57 C． D． 2 45a?2b37b13?2??，当(a,b)?(,)取等?3，所以b52a?ba222?a号。

5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则S?PQR

S?ABC的最小值为( D )．

A． 1111 B． C． D． 2345

参考答案：D.

解答：如图5-1所示，

A P

H B 图5-1 图5-2

（1）当?PQR的直角顶点在?ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，

?APR??CQR?180??BQR,所以sin?APR?sin?BQR.在?APR,?BQR中分别应用正弦定理得PRARQRBR.又?A??B?45,故PR?QR,故?,?sinAsinAPRsinBsinBQR

AR?BR即R为AB的中点.

S?PQR1过R作RH?AC于H，则PR?RH?BC,所以S?ABC2

时1(BC)2PR1,此???BC2BC242S?PQR

S?ABC的最大值为1. 4

（2）当?PQR的直角顶点在?ABC的直角边上，如图5-2所示，设BC?1,CR?x(0?x?1),?BRQ??(0???

在Rt?CPR中，PR??2),则?CPR?90??PRC??BRQ??. CRx?, sin?sin?

x3,?RQB????QRB??B????, sin?4

x

PQRB1?x由正弦定理, ???? sinBsin?PQBsinsin(???)44

x111x211，因此S?PQR?PR2?(?)?()2. sin?cos??2sin?22sin?2cos??2sin?在?BRQ中，BR?1?x,RQ?PR?

S?PQR

S?ABC?(111，当且仅当??arctan2取)2??222cos??2sin?(1?2)(cos??sin?)5

的最小值为. 等号，此时S?PQR

S?ABC15

6. 已知数列?an?的通项an?nx

(x?1)(2x?1)(nx?1) ，n?N*，若

a1?a2?

A．??a2015?1，则实数x等于（ D )． 35911 B．? C．? D．? 2124060

答案：D.

an?

(nx?1)?111??(x?1)(2x?1)(nx?1)(x?1)(2x?1)[(n?1)x?1](x?1)(2x?1)(nx?1)

2015

则?ak?1?

k?11?1?(x?1)(2x?1)(x?1)(2x?1)(2015x?1)

?(?(2015x?1)?0，所以 111x?(?1,?)?(?,?)?23411111,?)?(?,??)，经检验只有x??20132014201560

符合题意。

7． 若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 ( C )． ．．．

A．163626196 B． C． D． 175553

答案：C.

解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a，面积为S,过P的直线的倾斜角为 (0?

?

当过点?2)。 P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时，PQsin ?a?RScos ?sin ?4cos ?sin ?

S?(PQsin )2?16。 17，此时正方形的面积同理，当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时，S?

方形的对边所在的直线时，S?36；当过点P,S的直线为正5196. 53

8．若集合A?(m,n)(m?1)?(m?2)???(m?n)?102015,m?Z,n?N*?，则集合A中的元素个数为( B )．

A．4030 B．4032 C． 20152 D． 20162

答案：B.

解答：由已知得n(n?2m?1)?2201620155，因为n,n?2m?1一奇一偶，所以n,n?2m?1两者之一为偶数，即为22016,220165,2201652,,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到2016种情形，所以集合A共有4032个元素.

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分） 9．已知函数f(x)满足f(x?1)?f(1?x)?0，f(x?2)?f(2?x)?0，且f()?1，则2

3

1000f()? 3

答案：?1.

解答：f(x?2)?f(2?x)?f[1?(x?1)]??f[1?(x?1)??f(x)?f(x?4)?f(x)，所以

100044112f()?f(332?)?f()?f(1?)??f(1?)??f()??1. 333333

10．若数列{an}的前n项和Sn?n?n，n?N，则?32*2015

i?11． ai?8i?2

答案：2015. 6048

解答：an?

2015?a??aii?1i?1nn?1i?3n2?5n?2,又a1?0，故an?3n2?5n?2(n?N*), 20152015111201511. ??(?)????a?8i?23i(i?1)3ii?16048i?1ii?1i?1

11． 已知F为抛物线y?5x的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当最小值时，点M的坐标． 取

点M的坐标为 ． 答案：(21,1). 5

解答：设抛物线的准线为l:x??5.过M作l的垂线，垂足为H,则 4

AM?MF?AM?MH?AH,当A,M,H三点共线时取等号，此时M的坐标为1(,1)。 5

12．若16

答案：?sin2x?16cos2x?10，则cos4x?1. 2

?16sinx,1?t?16，则16cosx?161?sinx?222解答:设t1616?10?t?2,或，代入方程得t?tt

t?8，即