2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
上传者:黄汉桥|上传时间:2015-05-07|密次下载
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
2015年全国高中数学联赛江苏赛区
初赛参考答案与评分细则
一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上.)
1.已知点P(4,1)在函数f(x)=loga(x-b) (b>0)的图象上,则ab的最大值是
(a+b)2解:由题意知,loga(4-b)=1,即a+b=4,且a>0,a≠1,b>0,从而ab=4, 4
当a=b=2时,ab的最大值是4.
π43π2.函数f(x)=3sin(2x)在x=处的值是 424
π43ππ40π10π4π43π4π3解:2x-===2π+f()3sin. 412412332432
3.若不等式|ax+1|≤3的解集为{x |-2≤x≤1},则实数a的值是
解:设函数f(x)=|ax+1|,则f(-2)= f(1)=3,故a=2.
4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、
9个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是
3×10307×642解:有两类情况:同为白球的概率是==25×2562525×25625
72概率是 625
x2y2x2y2
5.在平面直角坐标系xOy中,设焦距为2c的椭圆+=1(a>b>0)与椭圆1有相同abbc的离心率e,则e的值是 .
2222-1+5c2c-bc2b-c解:若c>b,则a=b,矛盾,因此c<b,且有,解得e acab2
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线B1D与平面A1BC1交于E点.记四棱锥E-
ABCD的体积为V1,长方体ABCD-A1B1C1D1的体V积为V2,则的值是 . V2
内容需要下载文档才能查看
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 1 页 共 5 页 (第6题图) A1
解:记四棱锥B1-ABCD的体积为V.
2
如图,DE=1,
3
21V2
从而V1=V.又V2,所以=
33V29
A(第6题图)
内容需要下载文档才能查看1
7.若实数集合A={31x,65y}与B={5xy,403}仅有一个公共元素,则集合A∪B中所有元素之积的值是 .
解:因为31x×65y=5xy×403=2015xy.若xy≠0,则集合A和集合B中有一组相等,则另一组也必然相等,这不合题意.所以xy=0,从而A∪B中所有元素之积的值为0. 8.设向量a=(cosα,sinα),b=(-sinα,cosα).向量x1,x2,…,x7中有3个为a,其余为b;向量y1,y2,…,y7中有2个为a,其余为b.则?xiyi的可能取值中最小的为 .
i=1
7
解:因为a·a=b·b=1,a·b=0,所以?xiyi的最小值为2.
i=1
7
9.在3×3的幻方中填数,使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等.如图,三个方格中的数分别为1,2,2015,则幻方中其余6个数之和为 . 解:如图,设幻方正中间的数为x,则由题意知
2 1
a=-2012,从而对角线上三个数的和为x-2011.
2015
因此b=x-2014,c=-4026,d=-2013,e=x+2014. 2011
由b+e+x=x-2011,解得x=-
2201118099
这9个数的和为3×(--2011),
22
1809922135
所以幻方中其余6个数之和为-2018=-
22
(第9题图) e d a
c x 2015
1 2 b
(第9题图)
10.在平面直角坐标系xOy中,设D是满足x≥0,y≥0,x+y+[x]+[y]≤19的点(x,y)形成的区域(其中[x]是不超过x的最大整数).则区域D中整点的个数为 . 解:区域D中整点的个数为1+2+3+…+10=55.
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 2 页 共 5 页
二、解答题(本大题共4小题,每小题20分,共80分)
11.在等比数列{an}中,a2=2,q是公比.记Sn为{an}的前n项和,Tn为数列{a2若n}的前n项和.
S2n=2Tn,求q的值.
解:若q=1,则an=a2=2,a2n=4,则S2n=4n,Tn=4n,S2n≠2Tn.
若q=-1,则an=2×(-1)n,a2n=4,则S2n=0,Tn=4n,S2n≠2Tn.
……………………………… 5分
242n
×(1-q2n)×(1-q)qq-2n-4
若q≠±1,则an=2qn2,a2=4q,从而S=T= 2nnn1-q1-q……………………………… 15分
由S2n=2Tn,则
-1±174
1,q2+q-4=0,解得q.
2q(1+q)
-1+17-1-17
综上,q和. ……………………………… 20分
2212.如图,△ABC中,AB>AC,点D、E分别在边AB、AC上,且BD=CE.∠BAC的外角
平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点.
C
求证:A、P、B、C四点共圆.
证明:如图,连结PD,PE,PC.
因为四边形APDE是圆内接四边形, 所以∠PAD=∠PED,∠PAF=∠PDE. 又因为AP是∠BAC的外角平分线, 所以∠PAD=∠PAF, 从而∠PED=∠PDE,
A F
(第12题图)
B
C A
(第12题图)
B
故PD=PE. ……………………………… 10分 又∠ADP=∠AEP, 所以∠BDP=∠CEP.
又因为BD=CE,所以△BDP≌△CEP,从而∠PBD=∠PCE,即∠PBA=∠PCA,
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 3 页 共 5 页
所以A、P、B、C四点共圆. ……………………………… 10分
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,圆O1、圆O2都与直线l:y=kx及x轴正半轴相切.若
两圆的半径之积为2,两圆的一个交点为P(2,2),求直线l的方程.
解:由题意,圆心O1,O2都在x轴与直线l
内容需要下载文档才能查看若直线l的斜率k=tanα,
α2t设t=tank=. 21-t圆心O1,O2在直线y=tx上,
可设O1(m,mt),O2(n,nt). 交点P(2,2)在第一象限,m,n,t>0. ……………………………… 4分
所以⊙O1:(x-m)2+(y-mt)2=(mt)2,
⊙O1:(x-n)2+(y-nt)2=(nt)2,
?(2-m)2+(2-mt)2=(mt)2,?m2-(4+4t)m+8=0,所以?即?2……………… 8分 222?(2-n)+(2-nt)=(nt),?n-(4+4t)n+8=0,
所以 m,n是方程X2-(4+4t)X+8=0的两根,mn=8.
11由半径的积(mt)(nt)=2,得t2=,故t=.……………………………… 16分 42
2t144所以 k=l:yx. ……………………………… 20分 =1331-t1-4
14.将正十一边形的k个顶点染红色,其余顶点染蓝色.
(1)当k=2时,求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数;
(2)k取何值时,三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少?并说明理由. 解:(1)设正十一边形的顶点A1,A2,A3,…,A11,则易知其中任意三点为顶点的三角形都
不是正三角形.
以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算:以Ai(i=1,2,3,…,11)为顶角顶点
11-1的等腰三角形有5个,这些三角形均不是等边三角形,即当j≠i时,以Aj为顶角2
顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形.
故所有的等腰三角形共有5×11=55个. …………………… 5分
当k=2时,设其中Am,An染成红色,其余染成蓝色.
以Am为顶角顶点的等腰三角形有5个,以Am为底角顶点的等腰三角形有10个;同时以Am,An为顶点的等腰三角形有3个,这些等腰三角形的顶点不同色,且共有(5+10)
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 4 页 共 5 页
×2-3=27个.
注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色,故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55-27=28个. ………………………… 10分
(2)若11个顶点中k个染红色,其余11-k个染蓝色.则这些顶点间连线段(边或对角
k(k-1)(11-k)(10-k)线)中,两端点染红色的有条,两端点染一红22
一蓝的有k(11-k)条.并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形.
把等腰三角形分4类:设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个,三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个,两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个,两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个,则按顶点颜色计算连线段,
k(k-1)3x1+x3=3× ① 2
(11-k)(10-k)3x2+x4=3× ② 2
2x3+2x4=3×k(11-k), ③
3由①+②得 3(x1+x2)+x3+x4k(k-1)+(11-k)(10-k)], 2
11用③代入得 x1+x2=[ k(k-1)+(11-k)(10-k)-k(11-k)](3k2-33k+110). 22
1当k=5或6时,(x1+x2)min=(5×4+6×5-5×6)=10. 2
即顶点同色的等腰三角形最少有10个,此时k=5或6.………… 20分
2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案第 5 页 共 5 页
下载文档
热门试卷
- 2016年四川省内江市中考化学试卷
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
- 四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
- 2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
- 重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
- 江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
- 内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
- 2017年六年级(上)数学期末考试卷
- 2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
- 江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
- 重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
- 山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
- 【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
- 四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
- 四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
- 安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考高三英语试卷
- 山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
- 福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
- 甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷
网友关注
- 二年级上学期语文复习补充资料(四字词)答案
- 24、寓言两则
- 东财17春《毛泽东思想概论》在线作业一(随机)满分标准答案
- 《马克思主义和中国传统文化》
- 认知心理学 第三章 注意Word
- 黑龙江2016年上半年初级财政税收经济师:税收管理权限包括两个方面考试试题答案
- 二年级上学期语文复习补充资料(多音字)答案
- 东北师范大学2017春季高起专《心理学》离线作业答案
- 副产品销毁协议
- 寿险专业化销售流程Word
- 旅游法释义20-22条Word
- 2.5 洛必达法则Word
- 〖落泪 无声〗
- 东财17春《人力资源管理X》在线作业二(随机)满分标准答案
- 三亚旅游婚纱摄影动态Word模板动态模板
- 2017长春事业单位考试公共基础知识:事业单位(综合类)考试题型分析答案
- 七上体育50米跑教案
- 第3讲——条件熵、联合熵及熵的性质Word
- 大学英语BOOK1.U13THE LIGHT OF DEPRESSIONWord
- 学校规范招生行为承诺书
- 世界市场行情串讲三Word
- 2014第31届全国高中物理竞赛初赛试题及标准答案(全Word版)
- 驾考宝典
- 会计学原理(立信new)1aaaWord
- 容易写错的词语
- 《翠鸟》说课
- 情景领导模式(学员Word)
- 黑龙江2016年上半年农村信用社招聘公共基础知识:法律部分刑法策略考试试卷答案
- 描写要生动细致Word
- 货币银行学 金融抑制、深化和创新Word
网友关注视频
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,天津市
- 《空中课堂》二年级下册 数学第一单元第1课时
- 冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣.mp4
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 10
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 7
- 二年级下册数学第二课
- 外研版英语七年级下册module1unit3名词性物主代词讲解
- 沪教版八年级下册数学练习册21.4(1)无理方程P18
- 第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下)_六 指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 8
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 12
- 人教版二年级下册数学
- 【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 3月2日小学二年级数学下册(数一数)
- 冀教版小学英语四年级下册Lesson2授课视频
- 飞翔英语—冀教版(三起)英语三年级下册Lesson 2 Cats and Dogs
- 北师大版数学 四年级下册 第三单元 第二节 小数点搬家
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit5
- 苏科版数学八年级下册9.2《中心对称和中心对称图形》
- 三年级英语单词记忆下册(沪教版)第一二单元复习
- 二年级下册数学第一课
- 冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣
- 沪教版八年级下次数学练习册21.4(2)无理方程P19
- 外研版英语三起6年级下册(14版)Module3 Unit1
- 化学九年级下册全册同步 人教版 第25集 生活中常见的盐(二)
- 化学九年级下册全册同步 人教版 第22集 酸和碱的中和反应(一)
- 【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
- 8 随形想象_第一课时(二等奖)(沪教版二年级上册)_T3786594
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit3
精品推荐
- 2016-2017学年高一语文人教版必修一+模块学业水平检测试题(含答案)
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
分类导航
- 互联网
- 电脑基础知识
- 计算机软件及应用
- 计算机硬件及网络
- 计算机应用/办公自动化
- .NET
- 数据结构与算法
- Java
- SEO
- C/C++资料
- linux/Unix相关
- 手机开发
- UML理论/建模
- 并行计算/云计算
- 嵌入式开发
- windows相关
- 软件工程
- 管理信息系统
- 开发文档
- 图形图像
- 网络与通信
- 网络信息安全
- 电子支付
- Labview
- matlab
- 网络资源
- Python
- Delphi/Perl
- 评测
- Flash/Flex
- CSS/Script
- 计算机原理
- PHP资料
- 数据挖掘与模式识别
- Web服务
- 数据库
- Visual Basic
- 电子商务
- 服务器
- 搜索引擎优化
- 存储
- 架构
- 行业软件
- 人工智能
- 计算机辅助设计
- 多媒体
- 软件测试
- 计算机硬件与维护
- 网站策划/UE
- 网页设计/UI
- 网吧管理