直击中考2 因动点产生的直角三角形问题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2013年山西省中考第26题

如图1，抛物线y 123x x 4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y42

轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQ＝DC列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

1231x x 4 (x 2)(x 8)，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)． 424

1（2）直线DB的解析式为y x 4． 2

1123由点P的坐标为(m, 0)，可得M(m, m 4)，Q(m,m m 4)． 242

112312所以MQ＝( m 4) (m m 4) m m 8． 2424（1）由y

当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形． 解方程 12m m 8 8，得m＝4，或m＝0（舍去）． 4

此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．

所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．

所以四边形CQBM是平行四边形．

图2 图3

（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．

例2 2012年广州市中考第24题

如图1，抛物线y 323x x 3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y84

轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

．．．．

图1

思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个．

2．当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合∠AMB＝90°的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合∠AMB＝90°的点M只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

（1）由y 3233x x 3 (x 4)(x 2)， 848

得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4, 0)、B(2, 0)．对称轴是直线x＝－1．

（2）△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．

过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．

DGCO3 ． BGAO4

399所以DG BG ，点D的坐标为(1, )． 444由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以

因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．

而D′H＝DH，所以D′G＝3DG 2727．所以D′的坐标为(1,)．

44

图2 图3

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M． 以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．

联结GM，那么GM⊥l．

在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．

M1A3 ，所以M1A＝6． AE4

3所以点M1的坐标为(－4, 6)，过M1、E的直线l为y x 3． 4

3根据对称性，直线l还可以是y x 3． 4在Rt△EM1A中，AE＝8，tan M1EA

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题

如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图1

思路点拨

1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．

2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧． 满分解答

（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

c 1,9b 解得，c＝1． 2 16 4b c 3.

所以抛物线的解析式是y x 29x 1． 图2 2

（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．

如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．

在Rt△AOH中，OA＝1，sin AOH sin OBC

所以AH OA sin AOH 4， 54． 5

322所以OH ，BH OB OH ． 55

AH4222 ． 在Rt△ABH中，tan ABO BH5511

1（3）直线AB的解析式为y x 1． 2

912设点M的坐标为(x, x x 1)，点N的坐标为(x,x 1)， 22

9122那么MN ( x x 1) (x 1) x 4x． 22

当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．

解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．

因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为(1,)（如图3）．

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