中考复习系列之距离最短或最大问题

上传者：常鹏
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上传时间：2015-04-15
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中考复习系列之距离最短或最大问题

归于几何模型，这类模型又分为两种情况：

（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的

两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线

段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

（1）归入“两点之间的连线中，线段最短” 例1、几何模型：

条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A ，连结A B交l于点P，则PA PB A B的值最小（不必证明）．

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模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．求PB PE的最小值.

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA OB， AOC 60°，P是OB上一动点，求PA PC的最小值.

（3）如图3， AOB 45°，P是 AOB内一点，PO 10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

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例2. 如图，（1），在 ABC中，AC BC 2, ACB 90 ，P为BC边上一定点，（不与点B，C重合），Q为AB边上一动点，设BP的长为a(0 a 2)，请写出CQ PQ最小值，并说明理由。

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（2）归于“三角形两边之差小于第三边”

例1、几何模型：

条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使|PA PB|的值最大．

方法：作过点A与点B的直线，直线AB与交l于点P，则|PA

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PB|的值最大（不必证明）．

若A、B是直线l异旁的两个定点．则先做对称点，再连接对称点与A（或B）。

例2.抛物线y ax2 bx c交x轴于A，B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为

x 1,B(3,0),C(0, 3).求（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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综合应用：

1.求代数式x 1 (4 x) 4（0≤x≤4）的最小值.

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2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3 1时，求正方形的边长.

3.已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC 3，BC 2，取AB的中点M，连结MC，把 MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到 DAO.

(1)试直接写出点D的坐标；

(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过

点P作PQ x轴于点Q，连结OP.

①若以O、P、Q为顶点的三角形与 DAO相似，试求出点P的坐标； ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得TO TB的值最大.

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B C

3.答案解：(1)依题意得：D

,2 ； 2

(2) ① ∵OC 3，BC 2，∴B 3,2 . ∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为y ax2 bx a 0 又抛物线经过点B 3,2 与点D

,2 2

4 a , 9a 3b 2, 9

∴ 9 解得： 3

2a b 2 b 2 4 3

∴抛物线的解析式为y ∵点P在抛物线上， ∴设点P x,

422

x x. 93

422 x x . 93

422

x x

PQQO51 x， 1)若 PQO∽ DAO，则，解得：x1 0(舍去)或x2 ，

316DAAO22

∴点P

51153

, 1664

422x x

OQPQ9x， 2)若 OQP∽ DAO，则，解得：x1 0(舍去)或x2 ， 32DAAO22

∴点P

9 ,6 . 2

②存在点T，使得TO TB的值最大. 抛物线y

3422

x x的对称轴为直线x ，设抛物线与x轴的另一个交点为E，则点

493

3 3

E ,0 .∵点O、点E关于直线x 对称，

4 2

∴TO TE 要使得TO TB的值最大，即是使得TE TB的值最大，

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