基于学生需要和认知基础设计与实施教学_杨小丽

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数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

基于学生需要和认知基础设计与实施教学

杨小丽１　刘　轶２

（）北京教育学院数学系　１北京师范大学第四附属中学　１１．０００４４，２．０００６９

如果我不得不把教育心　　奥苏贝尔曾经说过：

我会说影理学的所有内容简约成一条原理的话，响学习的最重要的因素是学生已知的内容．弄清

了这点后，再进行相应的教学．也就是说，教师的教学决策是根据教师对学生认知基础的了解，然后实施于教学．

那如何了解学生的认知基础，又如何根据学生的情况设计相应的教学呢？下面以初中“极差与方差”一课为例，对上述问题进行分析．１　分析学生显在或潜在的需要

笔者以为，教师在进行一节课的教学设计时一定要先换位思考：如果我是学生，对于这节课，我想知道些什么．基于上述考虑，对于极差与方差我们梳理出以下三个问题：这节课，

（）前面已经学习了反映数据集中趋势的统１计量：平均数、中位数、众数，为什么还要学习极差、方差？它们有什么用？

（）极差、方差公式是怎么来的？２

（）什么时候用极差、什么时候用方差？３

解决了上述３个问题实际上就解决了为什么要学、学什么的问题．

为什么要学习极差、方差？因为平均数、中位数、众数刻画的都是数据的集中趋势，而集中趋势只是表述数据特征的一个方面，为了全面地了解数据的整体特征，还需要刻画数据的离散程度．数据的离散程度是数据分布的一个重要特征，它所反映的是各个数据远离其中心值的程度，因此也刻画数据离散程度的统计量有极差、称离中趋势．

平均差、方差、标准差等．初中阶段主要学习极差与方差．

极差与方差这节课到底要学什么？这节课不仅要学习极差、方差的定义和计算公式（包括公式，怎么来的，即公式的形成过程）还应该让学生清

楚它们的作用和意义，让学生认识到极差、方差、平均差等在反映信息时的优劣、明确它们的不同适用范围；能根据实际问题的需要，选择合适的数字特征来刻画数据；并通过研究如何用样本的特征估计或推断总体的特征，体会用样本估计总体发展数据分析观念．的思想，

清楚了为什么学和学什么，接下来需要思考的是：学生的情况怎样？如何根据学生的情况开展本节课的学习？笔者的授课对象是普通校普通班的学生，让学生经历公式的形成过程这个目标能够实现吗？如果能，怎样才能让学生经历极差、方差公式的形成过程呢？

只有进一步了解学生，才能进行下一步的教学设计．

了解学生的认知基础２　开展学前调查，

为了了解学生的认知基础，笔者在课前开展了调查．调查题目如下：

（）甲乙两名射击选手在相同条件下打靶，射１

中的环数如图１、图２所示，如果你是教练，挑选你会如何挑选？为什么

？一名选手参加比赛，

图１　　　　　　　　　　　图２　　

（）某校运动队准备从甲乙两位同学中选拔２

一人参加区里的田径百米比赛，８次测试成绩如下：

甲的成绩／秒２．１２．２３．１３．０２．２．４２．２２．乙的成绩／秒２．０２．４２．８２．２３．２．８２．３２．

２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报　　选派哪一位选手去呢？为什么？你能设计一个方案，帮我选出派谁去参加吗？

调查结果如下：

）：问题（１①你会选择谁参加比赛呢？

）：问题（共５１０份调查问卷）①的答题情况（“选择甲”学生人数４７　９４％

“选择乙”学生人数

２　４％

“认为都可以”学生人数

１２％

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时，只有２０％的学生能从数据稳定性的角度思考问题．

为了进一步了解学生能否用统计量刻画一组数据的稳定程度，笔者在所任教的两个班中一共访谈问题找了１０名不同程度的学生进行了访谈．及结果如下：

（）访谈问题：１

如果你是教练，挑选一名选手参加比赛，你会图２，你能用数如何挑选？为什么？除了看图１、据帮我比较一下两者的不同吗？

（）访谈结果：２

学生的主要方法如下：

学生Ａ：两组数据的波动范围不同，甲在７－乙在５－１比较每组数据最大值与９之间，０之间，最小值的差即可．

学生Ｂ：依次求出甲乙相邻两次成绩的差的绝对值，求和，除以射击总次数，然后将计算结果进行比较．

学生Ｃ：分别计算甲乙每次成绩与平均数的求和，除以射击总次数，然后将计算差的绝对值，结果进行比较．

当然还有一些别的方法，在这就不一一列举了．

从上述访谈结果来看，学生是有能力“创造”出各种不同的统计量来刻画数据的离散程度的，而且这些统计量都有其合理性．我们可以把学生第一是只能够想到利的思维分为以下三个层次：

用部分数据进行比较，比如学生Ａ；第二是能够想到利用所有的数据，但是所找的参照量不是很合比如学生Ｂ；第三是能够找到恰当的参照量平适，

均数，而且能想到求出各数据与平均数的距离和，但是想不到求各数据与平均数的差的平方和，比由此我们认为学生思维上的“坎”也相如学生Ｃ．

一是为什么要用所有的数应分为以下三个层次：

据，计算最大值与最小值的差不是可以解决问题别的量为什吗？二是参照量为什么选取平均数，

么不可以？三是计算各数据与平均数的差的绝对值已经解决了问题，为什么要计算各数据与平均数的差的平方呢？

基于上述对学生情况的了解和分析，我们认为让学生经历极差、方差公式的形成过程这个目计算平方可能标是必要而且是能够部分实现的（

）：１　　问题（②说明理由

）：问题（共５１０份调查问卷）②的答题情况（说明理由

稳定、波动”提及“计算“平均数”众数

观察“最高成绩、最低成绩”将点连成折线

人数３９　２０　１　６　４　

比例７８％４０％２％１２％８％

）：２　　问题（①你会选择谁参加比赛呢？

）：问题（共５２０份调查问卷）①的答题情况（“选择甲”学生人数２６　５２％

“选择乙”学生人数２３　４６％

“认为都可以”学生人数

１２％

）：来选择谁去２　　问题（②请你设计一个方案，

参加比赛．

）：问题（共５２０份调查问卷）②的答题情况（和平均分比较稳定性比较平均数

比较最快成绩、最慢成绩众数、中位数比较每次成绩画折线图比较

１　１０　１１　１１　６　３　８　

２％２０％２２％２２％１２％６％１６％

当给出的数据以　　从上述统计数据可以看出，

统计图的形式出现时，７８％的学生能够判断一组数据的离散程度，并能从数据的离散程度的角度解决实际生活问题．而当数据以表格的形式呈现

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数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

平均差、方差在反映信息时的优劣．

由于课前了解到学生有能力“创造”出各种不同的统计量来刻画数据的离散程度，因此本节课的第二个活动是：分组讨论，寻找刻画数据离散程度的量．

学生出现了很多不同的想法，但由于课堂时间的限制，笔者只让四名同学汇报并进行了点评．

第一位学生的方法是：分别用甲乙成绩的最大值减去最小值，将计算结果进行比较．

第二位学生的方法是：依次求出甲乙相邻两次成绩的差的绝对值，求和，除以射击总次数，然我们把这种方法简称为后将计算结果进行比较（相邻数据作差法）．

第三位学生的方法是：分别计算甲乙每次成求和，除以射击总次绩与平均数的差的绝对值，数，然后将计算结果进行比较．

第四位学生的方法是：分别计算甲乙每次成绩与８的差的绝对值，除以射击总次数，然后将计算结果进行比较．

笔者分别对上述４位学生的回答进行了相应的追问，而且还一一进行了分析．

第一位学生的方法实际上是在计算极差，于是笔者自然地引入极差，讲解了极差的计算公式、意义和作用，并通过如下问题二的解决说明极差在解决问题时的不足：极差只用到了一组数据中最大值与最小值的差，没有考虑中间那些数据所且受极端值的影响较大．这一环节解提供的信息，

决了学生第一层次的“坎”．

问题二：甲、丙两名选手五次射击结果如下，作为教练，你选择谁参加比赛？

选手甲丙

３　３　

５　６　

射击环数６　６　

７　６　

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，需要老师给出）但是仅仅只是经历极差、方差的形成过程是不够的，还需要在此过程中解决学生，上述三个层次的“坎”因此，教师需要精心设计教学活动并有效实施．

设计与实施教学３　根据学生需要和认知基础，

活动一：让学生体会学习极差、方差的必要性

问题一：甲乙两名射击选手在相同条件下打射中的环数如表１所示：靶，

表１

１０　２　３　４　５　６　７　８　９　１甲乙

８　７　９　８　７　９　７　８　９　９８００　６　１７　９　５　９　８　９　１

挑选一名选手参加比赛，你会　　如果你是教练，如何挑选？

设计该问题的目的之一是为了让学生体会学习极差、方差的必要性．在课堂教学中，有三名学生回答了该问题，他们分别计算了平均数、众数、中位数、还有最大、最小值．通过对上述统计量的计算，发现并不能很好地解决老师提出的问题，这时，学习新的统计量的必要性就自然产生了：用已经学习过的统计量已经不能够解决新问题了，因此我们要学习新的统计量．

设计该问题的目的之二是为了进一步了解学生从以表格形式呈现的数据中提取信息的能力．）上述问题一和课前调查的第（题一样，只不过不１而是换成了表格形式呈是以统计图的形式呈现，

现．为什么要换成表格形式呈现呢？主要原因是）从课前调查的第（题我们发现，学生对于以表格２形式呈现的数据，能从数据的离散程度分析问题的减少到１占２这一调查结果说明了学０人，０％．生从以表格形式呈现的数据中提取信息的能力要明显弱于从以统计图呈现的数据中提取信息．但差距是不是真有这么大呢？反思了课前调查（２）中提供的数据，可能由于表格中数据的差异太小，从而加大了学生从中提取信息的难度．那对于同一组数据，不同的形式呈现，还有这么大的差异因此将课前调查的第（吗？为了回答这个问题，１）题改为以表格形式呈现，作为本节课的新课引入．

活动二：分组讨论，鼓励学生自己寻找刻画数据离散程度的量，让学生经历极差、方差公式的形成过程，理解极差、方差的作用和意义，体会极差、

笔者　　第二位学生的方法是相邻数据作差法．

对该方法进行了点评，指出了该方法的优点：（）该方法弥补了极差的不足，考虑到了全组数１

（）（据；提出了求相邻两数的距离的思路；根据２３）已有的经验，考虑到了平均值的作用．而且还指出了该方法的不足：受到数据排列顺序的影响．接下来将表１中数据的顺序打乱，让学生计算相应的让学生切实体会：数据顺序不同，计算结果结果，

２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报也不同，计算结果不唯一，因此用它作为衡量数据离散程度的统计量不合适．

第三位学生的方法实际上是在计算平均差，第四位学生的方法与和第三位学生的方法很相似，不同的是他们选择的参照量不一样，第三位学而第四位学生选择的生选择的参照量是平均数，

是８，到底孰优孰劣呢？笔者对此进行了分析：８是一个接近平均数的量，首先它不唯一；而且换一组数据，这个参照量就不一定是８了，这不利于我而平均数有以下优们用一个统一的量来表示它；

（）点：它的计算用到了所有的数据，并且我们可１（利于计算机执行，平均以用一个式子表示它，２）数本身具有很好的性质，因此选择平均数作为参照量更好．这一环节解决了学生第二层次的“坎”．

就参照量的选择而言，第三位学生选择平均数非常合适．那第三位学生的方法好不好呢？首先为什么一定要计算绝对值呢，不要绝对值可不可以？为此笔者提出了以下问题：如果在计算时不加绝对值可不可以？学生计算后发现不可以，因为

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较出乙丙成绩的离散程度．这个问题让学生体会到：在某些情况下，计算平均差也无法衡量出数据），的离散程度（解决了学生第三层次的“坎”因此我们还需要寻找功能更强大的量．那什么量功能比平均差更强大呢？此时可以让学生继续思考，如果学生能想到加平方那就再好不过了，如果学生想不到，这时再由老师指出平方的方法．

回顾极差、方差公式的形成过程，我们可以发现，学前调查的结果发挥了极其重要的作用．之所以将本节课的重点活动设计成先小组讨论再教师点评的形式，主要源于课前对于１０名学生的访谈结果，尤其是对四种方法优劣的比较到位的点评，也主要源于：在课前调查中学生出现了这些方法，因而老师不得不思考：如果课上学生说出了这些方法，我应该怎么处理？可以说，本节课的教学活动是教师根据对学生思维的了解而设计的，然后实施于教学．

活动三：形成概念、生成公式（略）

活动四：通过相应的例习题让学生学会选择合适的统计量来刻画数据

问题四：某校要从新入学的两名体育特长生李勇、张浩中挑选一人参加校际跳远比赛，在跳远他们的专项测试以及以后的６次跳远选拔赛中，成绩（单位：如下表所示：ｃｍ）

专项测试和６次跳远选拔赛成绩／ｃｍ

平均数方差／ｃｍ

２

／ｃｍ

珡ｘＸ１ｘ２…ｘｎｎ珡（）ｘＸ＝ｉ－∑ｎｉｎ＝１

珡－Ｘ珡＝０．＝Ｘ既然参照量的选择、绝对值的计算、求平均等都没有问题，那这是不是就是最好的呢？还不是，因（）计算平均差涉及到绝对值，而绝对值在数为：１（）学演算推导上有很多不便；在衡量一组数据的２波动大小的“功能”上，方差更强些．比如，有两组数据：甲：乙：这两－６，－５，５，６；－１０，－１，１，１０，

组数据的平均差都是５．甲组数据的方差是３５，０．乙组数据的方差是５在这种情况下，利用５，０．５，

平均差就无法区分出它们波动的大小，而用方差则可以．由于上述第（方面学生暂时感受不到，１）

）而第（方面则是可以体会的．因此，为了让学生２笔者出示了问题三．体会平均差的不足，

问题三：乙、丙两名选手五次射击结果如下，作为教练，你会选择谁参加比赛？

选手乙丙

４　３　

５　６　

射击环数６　６　

７　６　

８９

ｎ

李勇６０３５８９６０２５９６６０４６１２６０８０２６张浩５９７５８０５９７６３０５９０６３１５９６３３３

）求张浩同学７次测试成绩的平均数，李勇１　　（

同学７次测试成绩的方差；

（）请你分别从平均数和方差的角度分析两２

人成绩的特点；

（）经查阅历届比赛的资料，成绩若达到６３００就很可能得到冠军，你认为应选谁去参赛夺ｃｍ，

冠军比较有把握？说明理由；

（）以往的该项最好成绩的纪录是６４１５ｃｍ，若要想打破纪录，你认为应选谁去参赛？

学习统计量一个很重要的方面就是要明确各种统计量的不同适用范围，并能根据实际问题的需要，选择合适的统计量来刻画数据．这也是培养

（下转第１９页）

；，乙丙这时就无法比　　用平均差算得：

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２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报率间有何关系？这无疑揭示了“探究３”的由来．如果我们把这个平面几何定理逆向解读为“的９０°，即可产生“圆周角所对的弦是直径”圆的内接直角三角形的斜边经过定点”的联想，那么，同样，一系列值得探究的血缘关系”根据圆锥曲线的“

问题自然浮出水面：椭圆、双曲线、抛物线的内接直角三角形的斜边是否经过定点？这与直角三角形的顶点位置是否有关？这诸多内容，都是我们有效组织探究式教学的极好素材．

除了教师组织的探究活动外，我们要引导学生善于反思，使他们的探究活动常态化，那么，这种常态化的探究，该探究什么？例如，本题的答案合理吗？证明本题还有其它途径吗？本题的解题方法是通性通法吗？体现出什么规律？这种规律对解决哪些问题还有效？为什么有些问题的解法能迁移，有些却不能迁移？根源在哪里？改变本题的题设之一，结论还成立吗？会有什么改变？如果把本题结论当题设，能推出题设吗？…等等，只有学生能清楚自己该探究什么，把反思与探究变成自己的行为习惯，才会使探究式学习方式收获更大的效益．３．３　怎样探究？

确定了值得探究的问题之后，要圆满完成探（上接第１５页）

学生数据分析观念非常重要的一方面：了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法．

通过前面的学习，可能有学生会认为现实生活中方差越小越好，其实不然，应具体情况具体分析．为此，笔者设计了上述问题四，通过该问题的解决，学生不仅巩固了平均数、方差的计算方法，而且让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用．

４　结束语

古往今来，一切进步教育思想的共同特征是倡导研究学生并将之与教育本身化为一体．卢梭明确主张倾听和研究学生：开始时要研究你的学生，因为你肯定根本没有了解他们．波利亚也指出：教师讲什么不重要，学生想什么比这重要一千倍！

在现实的教学中，研究学生的理念一直都有，

参考文献

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究任务，有两大要素至关重要，其一，预测探究结果；其二，选择探究途径．

预测探究结果，实际上为探究活动确定了方向．当年著名科学家牛顿受到“苹果从树上掉在现象的启发，预地上，而不是反方向飞向天空”

测客观世界中任意两个物体相互吸引，进而探究发现了万有引力定律，就是一个预测探究结果，确定探究方向的经典案例．虽然我们普通人难以堪比牛顿，但相对准确的预测探究结果与探究方向，取决于预测者的逻辑思维能力和理性思维水平，也应该是不争的事实．就本文的课例而言，，从“如果没有“从特殊到一般”正向到逆向”这两大思维框架的引领与调控，本例探究活动的顺利进行是很困难的．

选择探究途径，在中学阶段，不外乎算法策略的制定，它涉及学生已有的知识基础、技能基础和学习经验．在实施算法的过程中，教师要扮演好组织者、指导者与合作者的三重身份，留足学生自主发现、探究的空间，激励学生尽可能独立地发现问题和提出问题，对学生合乎情理的推测与演练，不干扰，不包办，但要在探究过程的节点处，凭借提问与追问，把控正确的探究方向．

备课要备学生也是我们再熟悉不过的一句话，但是真正能够做到备课备学生的老师似乎不多．备研究学生已有的生活经验学生就是要研究学生，

和学习经验、研究学生已有的知识基础和认知发展水平、研究学生的需要、研究学生学习新知识可能表现出来的智慧与潜能及可能遇到的“坎”通．极差与方差”一课，让我们进一步过设计并执教“

体会到将学生研究作为教学设计和教学的基础，能够解决教学的针对性，真正促进学生的发展、增加教育教学的有效性．但如何使学生研究更科学、如何更有效地利用学生研究的结果指导教学设计和教学实践，值得我们不断探索．

１　张饴慈．新课标理念下高中概率和统计内容的定位和教学

［］数学通报，Ｊ．２００５，６：１－６

］中学教育里的概率与统计［数学通报，Ｊ．２００６，１２：１７２　张饴慈．

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