三门问题_何书元

２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报

１

三门问题

何书元

（）首都师范大学数学科学学院　１０００８９

１　问题

在各式各样的猜奖活动中，是否能够猜中奖项凭的是运气，一般是没有技巧可言的．但是在参与有专门设计的抽奖时，如何得到最高奖项，就有讲究了．三门问题就是一个经过设汁的有趣问题，出自美国的电视游戏节目Ｌ问ｅｔｓＭａｋｅａＤｅａｌ．　　　题如下：

在电视屏幕的三扇门后各藏有一件奖品，两件是山羊，一件是跑车．猜奖者任选一扇门，并得门后的奖品．在猜奖人当场选定一扇门未打开前，主持人打开了另外一扇门，发现后面是羊．这时主持人问猜奖人是否要改猜另一扇门．

现在的问题是改猜得到跑车的概率大，还是不改猜得到跑车的概率大？

与此相似的问题一开始在小范围流传，２０世纪９引起了较为广泛的０年代出现在美国的报刊，兴趣和讨论，甚至争论．据报道，该问题还引起了美国中央情报局的关注．他们认为这个问题的分析解答在情报分析问题中可能会有借鉴作用．

对于三门问题常见的是以下两种解答．／解答一：改猜获得跑车的概率是２理由是３．／第一次选到的门后有跑车的概率是１所以跑３，／车在其余两扇门后的概率是２因为又知道了３．一扇门后有山羊，所以跑车在剩下的门后的概率／仍是２他们的进一步解释是：如果你对此答案３．有疑问，就设想一千扇门后只有一个是跑车，其余是山羊．你任选一扇门，得跑车的概率为１当０－３．主持人打开另外后面有山羊的９只剩两９８门后，扇门未打开．这时，不改猜你得跑车的概率仍为

－３－３，改猜得跑车的概率是１－１１０＝０．９９９．０解答二：不必改猜．原因是主持人打开有羊的

也没有更充分的理由否定解答二．更有人将其称为悖论．最终的结论是：无论如何，改猜是一个好／的选择，因为改猜得到跑车的概率不会低于１２．

但是，问题好象并没有水落石出．问题到底在哪里呢？

２　解答

其实问题出在人们对问题的理解存在不同．对相同问题的不同理解及其隐蔽性常是引发悖论的原因．本问题中，在作出是否改猜的决定前，应当先想想主持人是否知道门后的内情．主持人知不知道门后的情况所对应的解答和结论是不同的．

要解答好这个问题，还需要以下两个基本结论．

（）概率等于１的事件和任何事件独立；１

，（）中”无抽签原理；ｎ个签中有ｍ个标有“２

放回依次随机抽签时，第ｊ次抽到“中”的概率是／ｍｎ．

先验证结论（设Ｂ，＝１，１）．Ａ是事件，Ｐ（Ｂ）则Ｐ（＝１用加法公式得到Ｐ（＝Ｂ∪Ａ）ＢＡ）

Ｐ（Ｂ）Ａ）－Ｐ（Ｂ∪Ａ）Ａ）Ｂ）Ｐ（Ａ）＋Ｐ（＝Ｐ（＝Ｐ（．按定义，Ａ，Ｂ独立．

）结论（有许多的证法．但是最能帮助理解的２证明如下：设想将这ｎ个签放入一个口袋中摇匀，则无论用什么方法抽出一个时，抽到“中”的概率／…，第２，第ｊ－１是ｍｎ现在口袋依次抽取第１，该签个签攥在手中不拿出，将抽取的第ｊ个拿出，／是“中”的概率仍是ｍｎ．

下面是三门问题的解答．

用Ａ表示猜奖者第一次选中的门后是山羊，

珡表示该门后是跑车，／且Ｐ（则Ａ用Ｂ表Ａ）＝２３．示主持人打开的门后是山羊．

如果主持人知道门后的内情，他必然打开有，山羊的门，所以Ｐ（Ｂ）Ａ，Ｂ独＝１根据绪论（１）立，所以

门后，余下的两扇门后都可能有跑车，而且有跑车的可能性相同．因而改猜和不改猜得到跑车的概／率都是１２．

对于以上两种解答，多数人认同解答一．但是

２

数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

根据前面的计算，有

珡／／Ｐ（ＡＢ）＝２３，Ｐ（ＡＢ）＝１３．｜｜

／说明不改猜得到山羊的概率是２得跑车的概３，

／／率是１于是，改猜得跑车的概率是２这和解３．３．也说明解答一及其分析在主持人答一是一致的．

知道内情的前提下是正确的．

如果主持人不知道内情，则从抽签原理知道／于是用条件概率得到Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＝２３，

（）（）（）Ｐ（ＡＢ）＝＝｜

ＰＢＰＢ＝Ｐ（ＢＡ）＝，｜

２

珡Ｐ（ＡＢ）＝．｜

２

／说明改猜和不改猜得到跑车的概率都是１这和２．也说明解答二及其分析在主持解答二是一致的．

人不知道内情的前提下是正确的．

３　应用

要使得三门问题得到应用，还需要考虑更复实际中，我们可能不知道主持人是否知杂的情况．

道门后的情况．为了分析所有的可能情况，让我们若用Ｅ表示主假定主持人知道内情的概率为ｐ．持人知道门后的内情，则Ｐ（仍用Ａ表示Ｅ）＝ｐ．猜奖者第一次选中的门后是山羊，用Ｂ表示主持·）人打开的门后是山羊．定义条件概率ＰＢ（＝·｜，则用全概率公式得到Ｐ（Ｂ）Ｐ（ＡＢ）＝ＰＢ（Ａ）｜

珚）／Ｐ（ＢＥ）＝１，Ｐ（ＢＥ＝２３，｜｜

珚）／／Ｐ（ＡＢＥ）＝２３，Ｐ（ＡＢＥ＝１２．｜｜设ｑ＝１－ｐ，用贝叶斯公式得到

（）（）Ｐ（ＥＢ）＝｜ＰＢＥＰＥ＋ＰＢＥＰＥ｜｜，

＝＝ｐ＋２ｑ３２＋ｐ

珚Ｐ（ＥＢ）＝１－Ｐ（ＥＢ）＝．｜｜

２＋ｐ），将上面的式子代入（得到５．１

Ｐ（ＡＢ）＝×＋×｜

３２＋ｐ２２＋ｐ（）＝．５．２２＋ｐ

／（说明不改猜得到山羊的概率是（１＋ｐ）２＋ｐ）≥

／１２这也正是改猜得到跑车的概率．

下面是以上分析可能应用的地方．当安全部门得到了Ａ，并知道其中有一个真Ｂ，Ｃ三个情报，其余的是假情报．但是不能判断哪个真哪个情报，

假．依据当时的条件，他们只能对其中的情报Ａ，如果先核实出Ａ是假情报，Ｂ作进一步的核实．

则应当判断Ｂ是真情报的概率不小于Ｃ是真情报的概率．

参考文献

概率引论［北京：高等教育出版社，１　何书元．Ｍ］．２０１２．

珚）珚）＝ＰＢ（ＡＥ）ＰＢ（Ｅ）＋ＰＢ（ＡＥＰＢ（Ｅ｜｜

珚）珚＝Ｐ（ＡＢＥ）Ｐ（ＥＢ）＋Ｐ（ＡＢＥＰ（ＥＢ）．｜｜｜｜

（）５．１

（上接第７页）

目标模式是将目标分条目来逐条行为化，而在评价量表中就是将评价标准分维度程度化，同时赋值量化，即某一维度达到何种程度赋何值，还可将不同维度相整合取值．通过评价量表，评价标准变得简洁明了，增强了评价过程的操作性和可行性．文件中同时给出了相应的例子帮助理解和操作．我们还要注意非常重要的一点，就是要将这样的评价标准和评价量表公开，尤其是向被评价的对象公开．正如前文所述，对学习目标和成功标准有明确认识的学生更可能为了达到目标以及符合成功标准而对自己能做什么和应该做什么有更好的这样有助于发挥学生的内在驱动力．我国很意识，

通常都是“教师心中自有少制定详细的评价量表，

，一杆秤”有时就算制定了评价量表，但学生也不知其中的细则，所以经常有学生对自己的被扣分不明就里．评价量表的引入或许可以改变此种现状，同时也可以让多元化评价具有可操作性，从而可以真正地应用到数学评价改革中来．

《加州数学框架·评价》可以说是加州最新的代表着一种改革思路，对它的研究一定改革成果，

能为我国的数学评价改革带来一些启迪．

参考文献

１　ＣａｌｉｆｏｒｎｉａＳｔａｔｅＢｏａｒｄｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ．ＴｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＦｒａｍｅ　　　　　　－

：／／／／／／ｗｏｒｋ［ＯＬ］．ｈｔｔｗｗｗ．ｃｄｅ．ｃａ．ｏｖｃｉｍａｃｆｄｒａｆｔ２ｍａｔｈ－ｐｇｆｗｃｈａｔｅｒｓ．ａｓｐｐ