中学数学竞赛讲座及练习第33讲 相似三角形一
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中学数学竞赛讲座及练习第33讲 相似三角形一
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第三十三讲 相似三角形(一)
两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．
关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线 例1 如图2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6EF．
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分析 由于与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形EF．
解 在△ABC中，因为EF∥AB，所以
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同样，在△DBC中有
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①＋②得
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设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得
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说明
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请同学自己证明．
例2 如图2-65所示．
内容需要下载文档才能查看ABCDOE交BC于E，交AB的延长线于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求
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分析 本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过O作OG∥BC，交AB于G，构造出△FEB∽△FOG，进而求解．
解 过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以
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在△FOG中，由于GO∥EB，所以
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例3 如图2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD
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分析 因为AD°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标． 证 过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC=120°，所以
∠BAD=∠CAD=60°．
又
∠BAD=∠EDA=60°，
所以△ADE是正三角形，所以
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EA=ED=AD． ①
由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
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由①，②得
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从而
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例4 如图2-67所示．
内容需要下载文档才能查看AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB．求证：
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分析 与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证．
证 延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以
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在△OED与△OBH中，
∠DOE=∠BOH，∠OD=OB，
所以 △OED≌△
从而
DE=BH=AI，
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例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求
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