光的偏振对热光关联成像的影响

物理学报ActaPhys．Sin．Vol．60，No．6（2011）064209

光的偏振对热光关联成像的影响

张二峰戴宏毅



410073）

（国防科学技术大学理学院物理系，长沙

（2010年6月24日收到；2010年8月2日收到修改稿）

*

根据完全偏振光的不同偏振态和部分偏振光的不同偏振度对二阶关联函数的影响，利用统计光学理论研究了光的不同偏振性质对关联成像的可见度和信噪比的影响．研究表明，光的偏振对热光关联成像的影响体现在部分偏振光的不同偏振度上，关联成像的可见度是偏振度的二次函数，由二阶关联函数方法得到的信噪比随着偏振度增大而提高，而利用减去背景项的二阶关联函数以及二阶相干度方法得到的信噪比均与偏振度无关．

关键词：关联成像，偏振，可见度，信噪比

PACS：42.50.Ar，42.30.Va，77.22.Ej

指出热光源类似于一个相位共轭镜可以实现差别，

1.引言

Zhang等无透镜成像；随后，上实现了关联成像．

［9］

利用真热光源在实验

［1］

20世纪80年代末，前苏联学者Klyshko根据

近年来，热光关联成像引起了国内外学者的广泛关注

［4—12］

自发参量下转换光子对的纠缠行为，提出了关联成Pittman等像方案．1995年，

［2］

，然而热光关联成像存在背景项，导致

首次在实验上借助于

其可见度较低，且热光关联成像不可避免的存在噪声．这些问题都对热光关联成像的实际应用带来了Liu等存在偏振现象，挑战．针对光是一种横波，

［13］

自发参量下转换光子对实现了双光子纠缠源的关联成像．由于纠缠光子对成像是利用量子纠缠坐标、动量关联的特点设计的，因此，人们很自然地认只有量子纠缠才能实为关联成像是一种量子现象，Abouraddy等现关联成像．2001年，

［3］

研究了光的偏振对热光HBT效应的影响，但是热光的偏振对关联成像会产生什么样的影响呢？这一问题国内外文献还罕见报道．我们将根据完全偏振光的不同偏振态和部分偏振光的不同偏振度对二阶关联函数的影响，利用统计光学的理论，通过对关联成像探测面上的光强进行离散化处理来研究光的不同偏振性质对关联成像的可见度和信噪比的影响．这将对关联成像的理论研究和实际应用具有重大意义．

研究了双光子

认为成像系统中纠缠光子成像中量子纠缠的作用，

所表现出的效应是其他双光子源所不能模拟的，纠缠是获得关联成像的先决条件．

经典关联的光能否实现关联成像实验，这样的Bennink等问题还是引发了人们的思考．2002年，

［4］

首次利用经典关联的光进行了关联成像实验，否认Gatti了量子纠缠是关联成像的必要条件．2004年，等

［5］

证明了经典关联光能够实现纠缠双光子的一

［6］

2．关联成像的基本理论

热光关联成像原理

［14］

Cheng等些奇特效应；同年，在理论上提出了用经

如图1所示，其中D1代

表桶探测器，用于接收通过物体的总光强，而D2是一扫描点探测器或电荷耦合器件（charge-coupleddevice，简记为CCD），用于对光强进行分辨率测量，dA和dB分别表示热光源到待测物体和探测器D2

典关联光进行无透镜傅里叶变换成像的方案，讨论Valencia了其在X射线衍射方面的应用．2005年，等

［7］

在实验上得到了经典赝热光源的关联成像，并

且提出了经典关联成像的高斯薄透镜成像方程；Cao等［8］通过比较热光和量子纠缠光成像公式中的

*国家自然科学基金（批准号：11074307，10774192）和华东师范大学精密光谱国家重点实验室开放研究基金资助的课题．通讯联系人．E-mail：hydai@nudt．edu．cn

2011中国物理学会ChinesePhysicalSociety

064209-1

http：//wulixb．iphy．ac．cn

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的距离，关联器用于计算两个探测器所探测到光强的二阶关联函数

．

息，但是右边的第一项对成像不起作用，所以关联成像存在背景项，其可见度小于1．

上面讨论的是线偏振热光．其他偏振形式的热光对关联成像会产生什么样的影响呢？为了研究光的偏振对关联成像的影响，我们首先分析其对二阶关联函数的影响．

3.光的偏振对二阶关联函数的影响

3.1.完全偏振光的不同偏振态对二阶关联函数的

图1

热光关联成像原理图

影响

完全偏振光分为线偏振光、椭圆偏振光和圆偏振光．完全偏振光可以分解为相互正交的线偏振p光和s光，其光场分别为Ep和Es，相应的瞬时光强分别为Ip和Is．令

Ep=aEse±iπ/2，

（4）

其中a为实数，表示p光与s光的振幅比．特别的，当a=0时，热光为线偏振光，当a=1时，热光为圆偏振光．指数部分的正负号分别代表光场为左旋或右旋偏振光．

对于不同偏振态的完全偏振光，其二阶关联函数为

（1）

〈G（2）（x1，x2）〉=〈［Ip（x1）+Is（x1）］

×［Ip（x2）+Is（x2）］〉．（5）

由（4）式可得

〈G（2）（x1，x2）〉=（1+a2）2〈Is（x1）Is（x2）〉．（6）根据上式可知，对于不同偏振态的完全偏振光，其二阶关联函数可以简化为线偏振光的二阶关联函因此完全偏振光的不同偏振态对二阶关联函数数，没有影响．

3．2．部分偏振光的不同偏振度对二阶关联函数的

影响

部分偏振光可以分解为两个正交方向上相互独立的线偏振光之和，且部分偏振光可以用偏振度来描述．光的偏振度定义为

P=

［19］

利用相干激光照射旋转的毛玻璃产生赝热光，然后再经过一个50∶50分束器把产生的赝热光分成两束：其中一束照射待成像物体，再用探测器D1对透过待成像物体的光强进行桶测量；另外一束照射探测器D2，对其做分辨率测量．最后对两当赝热光源距离待测物束光进行光强符合测量，

体和探测器D2的距离相等时即可得到待成像物体的空间信息．

线偏振热光的二阶关联函数定义为

〈G（2）（x1，x2）〉=〈I（x1）I（x2）〉

=〈E*（x1）E（x1）E*（x2）E（x2）〉．

根据高斯矩定理

［17，18］

［15，16］

，对于服从圆高斯统计分布的

光场，其高阶关联函数可以用一阶关联函数来表因此热光的二阶关联函数为示，

〈G

（2）*

（x1，x2）〉

*

=〈E（x1）E（x1）〉〈E（x2）E（x2）〉+〈E*（x1）E（x2）2=〈I（x1）〉〈I（x2）〉+〈E（x1）E（x2）．

*

2

（2）

此时，对透过物体的光进行桶测量，则得到

∫

=∫dxt（x）［〈E

1

1

dx1t（x1）〈G（2）（x1，x2）〉

*

（x1）E（x1）〉〈E*（x2）E（x2）〉

+〈E*（x1）E（x2）〉2］=dx1t（x1）〈I（x1）〉〈I（x2）〉+dx1t（x1）〈E*（x1）E（x2）2．

〈Imax〉－〈Imin〉

，

〈Imax〉+〈Imin〉

（7）

∫

其中〈Imax〉和〈Imin〉分别为两个正交方向上线偏振光平均光强的极大值和极小值，P=1代表线偏振

（3）

光，P=0代表自然光．

对于不同偏振度的光，其二阶关联函数为

∫

利用（3）式右边第二项即可得到待测物体的空间信

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〈G（2）（x1，x2）〉=〈［Ip（x1）+Is（x1）］［Ip（x2）

+Is（x2）］〉，

（8）

其中Ip和Is分别为两个正交方向上的线偏振瞬时光强．此时，由于在正交方向上的光强之间相互独立

［13］

4．1．光的偏振度对热光关联成像可见度的影响

20，21］中的关联成像研究方法，利用文献［对把探两个探测器探测面上的光强进行离散化处理，测器的探测面离散化，分成一系列的像素点，且离散化后每个像素点的面积为探测器上热光的相干面积

［22］

，即

〈Ip（x）Is（y）〉=〈Ip（x）〉〈Is（y）〉．

（9）

则（8）式可简化为

〈G（2）（x1，x2）〉=〈［Ip（x1）+Is（x1）］×［Ip（x2）+Is（x2）］〉=〈Ip（x1）Ip（x2）〉+〈Is（x1）Is（x2）〉+〈Ip（x1）〉〈Is（x2）〉+〈Is（x1）〉〈Ip（x2）〉．

（10）

（10）式右边的前两项分别为线偏由此可以看出，

振p光和s光的二阶关联函数，而右边后两项则为线偏振p光和s光的强度平均值乘积．故部分偏振光的不同偏振度对二阶关联函数的影响是不同的．

，此时，可以认为不同像素点上的瞬时光强

即相互独立，

〈I（xi）I（xj）〉=〈I（xi）〉〈I（xj）〉（i≠j）．（11）则此时待成像物体的透过面积包含的像素点数目为

T=S/Sc，

光的相干面积．

为了便于分析，假定每个像素点上的平均光强且光源的光强足够大，以至于探测过程是相等的，

中的散粒噪声可以忽略

［23］

（12）

其中S为待成像物体的透过面积，Sc为探测面上热

．这样，关联成像的噪声

［24，25］

只来自于经典的光强涨落．

线偏振热光瞬时光强的概率分布函数为1I

exp－

pI（I）=〈I〉〈I〉

4．光的偏振对关联成像可见度和信噪

比的影响

根据上面讨论可知，光的偏振对二阶关联函数的影响体现在不同的偏振度上，从而由（3）式可以看出，光的偏振对热光关联成像的影响也体现在不同的偏振度上．关联成像的质量主要用可见度和信噪比来描述，下面将主要研究光的偏振度对关联成像可见度和信噪比的影响．



{

()

（I≥0），（I＜0），

（13）

其中〈I〉≡μ．一个部分偏振光的瞬时光强总是可以分成两个互不相关的偏振分量的强度之和

I=Ip+Is，

其中瞬时光强Ip和Is的期望值分别为

〈Ip〉=〈Is〉=

〈I〉

（1+P），2

〈I〉

（1－P）．2

（15）（14）

则部分偏振光的瞬时光强的概率分布为



2I2I?1exp－－exp－（P＞0，I≥0），

?P〈I〉（1+P）〈I〉（1－P）〈I〉?

pI（I）=?22（16）2I

Iexp－（P=0，I≥0），

?〈I〉〈I〉??0（I＜0）．



{[()(

][]}

)



此时对关联成像二阶关联函数进行离散化表示

〈G（x）〉=〈I（y）dyI（x）〉=〈I0I（x）〉，（17）

S

∫

利用（16）式得

〈I（x）〉=μ，

〈I0〉=〈ΣI（yin）〉=Tμ，

yinT

其中I0=

Σ

T

（18a）

I（yin）表示桶测量器收集到的光强，

〈G（x）〉=

yin

yin表示物体透过面积内部的像素点．

〈[Σ

T

I（yin）]I（x）

yin

〉

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=

{

(1+P22

μT+

2)

（x=xin），（x=xout）．

就会有一定的噪声．由于利用不同的数据处理方法

（18b）

得到的像的噪声也不相同，下面我们就三种常见的关联成像数据处理方法来计算其信噪比，分别是计算关联成像的二阶关联函数阶关联函数

［7，14］

［20，21］

Tμ

2

其中xin和xout分别代表探测面上对应的像素点在物体透过面积的内部和外部．

此时，热光关联成像的可见度为

V=

〈G（x）〉max－〈G（x）〉min

〈G（x）〉max+〈G（x）〉min

2

、减去背景项的二

［9］

和关联成像的二阶相干度

G（x）=M［I0I（x）］，

M［I0I（x）］

，

M［I0］M［I（x）］

N

（21a）

G'（x）=M［I0I（x）］－M［I0］M［I（x）］，（21b）

（19）

g（x）=

（21c）

1+P

=．4T+1+P2

图2表示当T=100时，利用（19）式得到的关联成像可见度V与偏振度P的关系，且由（19）式可得，当T较大时，

V≈

1+P

．4T

2

1

X］≡ΣX（s）表示对X进行N次测量以其中M［

Ns=1后取平均值．

I0I（x）］，M［I0］和因为测量次数N有限，M［

M［I（x）］都可以看作随机变量，所以（21）式可以看I0I（x）］，M［I0］和M［I（x）］的作随机变量M［函数．

I0I（x）］，M［I0］和为了便于分析，把M［

M［I（x）］分别记为X，Y和Z，则不同的关联成像数Y和Z的函数，据处理方法可以记为X，用F（x）=珔f（X，Y，Z）来表示，（x）为函数F（x）并且定义FY和Z取期望值时得到的函数值．则对于在X，

G（x），G'（x）和g（x），F（x）分别为X，X－YZ和X/YZ．

关联成像的信噪比定义为

珔珔F（xin）－F（xout）

（22）σ（F）=

22ΔF（xin）+ΔF（xout）］2

2

珔（F（x）－F（x））2〉表示函数F（x）其中ΔF（x）=〈

［23］

（20）

由此可以看出，二阶关联成像的可见度将随着热光偏振度的增大而提高

．

图2变化

当T=100时，利用（19）式得到的可见度V随偏振度P的

测量值与期望值之间的偏差．

利用（18）式可以得到不同数据处理方法下信

珔珔（xin）－F（xout），号值F所以只要能够得到关联成像的噪声，就可以求得其信噪比．又因为F（x）是随机Y和Z的函数，27］变量X，这时可以利用文献［中的

2

误差传播公式求ΔF（x），可得到

22

ΔG（x）=ΔX，

2222ΔG'（x）=ΔX+〈Z〉ΔY

22

cov（X，Y）+〈Y〉ΔZ－2〈Z〉

4．2．光的偏振度对热光关联成像信噪比的影响

在上节，我们研究了光的偏振度对热光关联成像可见度的影响．然而，关联成像可见度只代表由关联成像得到的物体的有效信息在总信息中占得比重，可见度越大，像的质量不一定就越好，相对于可见度来说，关联成像的信噪比是影响其质量的更重要因素

［21，26］

（23a）

．

2

－2〈Y〉cov（X，Z）+2〈Y〉〈Z〉cov（Y，Z），

22

1〈X〉ΔY2

Δg（x）=ΔX+222

〈Y〉〈Z〉〈Y〉

在前面分析热光二阶关联函数时，是对所得到的瞬时光强乘积求期望值，然而在现实中，不可能得到其期望值，只能通过进行多次测量，然后再对测量值取算术平均值来近似其期望值，这样，最后的测量值就会存在一定的误差，所得像的空间信息

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（23b）

[

22

〈X〉cov（X，Y）ΔZ2〈X〉+－2

〈Y〉〈Z〉

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－+

2〈X〉cov（X，Z）

〈Z〉2〈X〉cov（Y，Z）

〈Y〉〈Z〉

2

以由（16）式求得，如表1和表2所示，其中表1为当探测面上对应的像素点在物体透过面积内时得到

]，

表1

（23c）

的协方差矩阵x=xin，表2为在物体透过面积外时得到的协方差矩阵x=xout．

Y和Z的协方差（cov函数）矩阵可其中随机变量X，

Y和Z的协方差矩阵x=xin随机变量X，

Y

Z

1+3P2

2

xinX

μ4N

X

(1+P22P4+20P2+11

T+T+P4+8P2+224

μ3

N

)

μ3N

[

（1+P2）T+

]

μ3N

(1+P2

T+1+2P221+P22

μ2N1+P22

μ2N

)

Y

[

（1+P2）T+

1+3P2

2]1+P22

Tμ2N1+P22

μ2N

Z

μ3N

(1+P2

T+1+2P22)

表2

xoutX

μ4N

X

Y和Z的协方差矩阵x=xout随机变量X，

Y

Z1+P23

Tμ2N

(P4+4P2+31+P22

T+T24

1+P23

Tμ2N1+P23

Tμ2N

)1+P23

Tμ2N1+P22

Tμ2N

Y0

Z0

1+P22

μ2N

（23）式以及表1和表2中数据可以得出3种数据处理方式的图像的信噪比根据（18），

σ（G）=

1+P2）（1+P）T+（P+12P+7）T+2（P+8P+2）1+P2）1+P）T+2（P+5P+1）21+P2）

3P－3P－7P－1

T



σ（g）≈

．T

，（24a）

σ（G'）=

，（24b）

σ（g）=．（24c）

4（1+P2）2T+P6－P4+27P2+5+



当N=1000和T=100时，根据（24）式得到的三种数据处理方式的信噪比σ与偏振度P的关系如图3所示，其中，图3左边的纵坐标轴为σ（G）的坐标轴，而右边的纵坐标轴为σ（G'）与σ（g）的坐标轴．并且当T较大时，由（24）式可得到

综上所述可以看出，由三种关联成像数据处理方法得出到的信噪比有一个共同特点，即都与

1/2

测量次数的平方根N成正比，这是由于关联成

（25c）

σ（G）≈σ（G'）≈

N（1+P）

2

，

T，T

像的噪声随着测量次数N的增大而减小，并且关

1/2

（25a）式与偏联成像的噪声和N成反比．此外，

（25a）（25b）

振度P有关，且随着P的增大而提高，而（25b）和（25c）式与P无关．另外（25a）式与T成反比，而（25b）和（25c）式与T1/2成反比，因此，当物体透过

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