数学竞赛理科试题

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上传时间：2015-05-12
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数学竞赛理科试题

郑州四十四中2014-2015学年下期高二年级

理科数学竞赛试卷

一、选择题

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、已知复数z?,是z的共轭复数,则?z= ( ) 11 B. C. 1 D. 2 42

122、函数y?x?lnx的单调递减区间为 ( ) 2A.

A.(-1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞)

3、为了解疾病A是否与性别有关,在一医院随机地对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:

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22n(ad?bc)2

附：k? ( ) (a?b)(c?d)(a?c)(b?d)

A.95% B.99% C.99.5% D.99.9%

4、用数学归纳法证明: 1?11??23?1?n (n∈N*,n>1)时,在第二步证明从n=k到n2

n=k+1成立时,左边增加的项数是 ( )

A.2k B.2k-1 C.2k-1 D.2k+1

5、△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，则∠B是（）

A.锐角 B.直角 C.钝角 D.任意角

6、观察下列各式:72=49,73=343,74=2 401,…,则72 011的末两位数字为 ( )

A.01 B.43 C.07 D.49

7、如图,用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有 (

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)

A.288种 B.264种 C.240种 D.168种

8、已知函数f(x)?ax3?3x2?1, 若f(x) 存在唯一的零点x0, 且x0> 0, 则a的取值范围是 ( )

A. (2, +∞) B. (1, +∞) C. (-∞, -2) D. (-∞, -1)

二、填空题

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、当z?z100?z50?1?______ 10、计算?2

-2x2??________

11、从3名骨科、4名脑外科和3名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_______

12、如图,椭圆的中心在坐标原点,F为左焦点,A、B分别为长轴和短轴上的一个顶点,当

FB⊥AB时,此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,

可推出“黄金双曲线”的离心率为________.

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三、解答题

13、设f(x)?a(x?5)2?6lnx，其中a?R，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与y

轴相较于点(0,6)．

（Ⅰ）确定a的值；（Ⅱ）求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值．

14、某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

222222①sin13??cos17??sin13?cos17?; ②sin15??cos15??sin15?cos15?; ③sin18??cos12??sin18?cos12?;

④sin2(?18?)?cos248??sin(?18?)cos248?;

⑤sin2(?25?)?cos255??sin(?25?)cos255?.

（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

3 222

15、已知函数f(x)?ex?ln(x?m).

(Ι)设x?0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）当m?2时，证明f(x)?0.

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