浅析一道竞赛集训队试题的源与流
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浅析一道竞赛集训队试题的源与流
教学参谋
新颖试题
2014年4月
浅析一道竞赛集训队试题的源与流
◎江苏省溧水县第二高级中学
王敬全
笔者在竞赛辅导中遇到如下一道赛题:
题目
(2007年美国国家集训队试题)设a,b,C>t0,
去+击+去幺求证:洲c+c口≤寻.
本文就该试题的来源谈谈笔者的一点粗浅看法,同时给出该题的“源”在各级各类数学竞赛中的一些相关应用,希望对读者的学习能起到抛砖引玉的作用.
一、试题的源
由条件击+击+击=2,a2b2+bEcZ+c2a2+
2扔2c2-1.
令p=ab,q=bc,r=ca,则“确2+b2c2+c轷+2彩2c2=1”可
变形为p2+92+冉2pqr=1.注意到在AABC@,A+曰+c=1r.
故cos2A=cos2(B+C)=(cosBcosC—sinBsinC)2
=cos2Bcos2C+(1-cos2B)(1-cos2C)一2sinBsinCcosBcosC=1一cos2B—COS2C+2cosBcosC(cosBcosC—sinBsinC)=1-cos氇—cos2C+2cosBcosCcos(B+C)
=1-cos2B—COS2C一2cosAcosBcosC.
故cos2A+cosEB+COS2C+2cosAcosBcosC=1.
对比P2叼2+r2+2pqr=1与cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=l,二者具有高度的“一致性”,于是我们进行如下代换:p=ab=cosA,q=bc=cosB,r--ca=cost,于是
^
^
待证式n6+6c+co≤÷等价于cosA+cos曰+cosC一<21-.
由琴生不等式可知c。sA+cosB+c。sc≤3cosA+B.十C:
÷,故待证结论成立.
至此问题柳暗花明,原来“cosA+cosB+cosC一<÷”与
“ab+bc+co≤三”其实是一回事,三角不等式“cosA+
——■——一十。7擞.7高中版万方数据
cosB+cosc≤要”其实就是题目的源,也许命题人正是注
意到这点,才有上述题目的出现.
根据此思想,我们可进行类似的试题命制.大家知道,在AABC中有如下结论:(限于篇幅请读者自行证明)
(1)l<cosA+cosB+cosC≤÷;(2)sinAsinBsinC≤
詈、/了,c。sAcosBc。sc≤吉;(3)c。s疆+c。s氇+c。s2c≥寻.
由前面的分析知,条件‘.p2+q2+^2pqr=l”与AABC
中“cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1”在代换P=
cosA,q=cosB,r=cosC下具有等价性.
于是上述结论(1)(2)(3)中的不等式分别转化为如下不等式:
(4)1印+q+r≤i3;(5)(1-p2)(1一92)(1-rz)≤面27,
M≤扣6)p2+q2+r2≥÷
类似的不等式读者可进行自行探究,在此不再一一赘述.
二、试题的流
通过对题目的探“源”,不难发现不等式“cosA+
cosB+cosc≤要”其实也就是解决问题的关键所在.事实
上,与此三角不等式相关的不等式证明问题在近几年的国内外各级各类数学竞赛中屡见不鲜,下面略举几例说
明,希望对读者有所帮助.
例1(2006年全国高中数学联赛河南省预赛试题)
设石,Y,彳>o,戈+y榭+÷师=1,求证:、/i+、/歹+、/了
2014年4月
+÷师乱
证明:令x=16p2,y:1692,z=16r2,则“x十),忆+÷、/;万=1’’可以转化为‘‘P2+92∥+劫gr=丧”,则待证式等价于P+g+r+枷≤÷
由题目的证明可知p+g+r=cosA+c。出+cosc_<32
K
pqr≤÷,即知待证式成立.
例2(2005绷尼亚国家队数学奥赛预选试题)
设a,6,c>O,ab+bc+ca+2abc=1,求证:、/石+、/万+、/五
≤三
2
证明:注意到条件“ab+bc+c口+2击c=1”可以转化为
“(、/万)2+(、/爵)2+(、/磊):+2、/万?、/瓦?、/瓦=1”.
若令茁=、/i,产、/万,z=、/五,则已知条件还可以
转化为茗坼冉2班=1,待证式转化为并岬忆≤寻.
不妨设x=coM,y=cosB,g=cost,则待证式等价于
c。矾+c。曲+cosc≤要。此式由琴生不等式可知,ePiC.
例3(第2l届伊朗奥赛试题):设a,b,c>O,a24.b2+c2+abc=4,求证:口+6+c≤3.
i正l!g:令o=劲,b=2q,c=2r,则条件“d+b2+c2+abc=4”
变形为‘'p2-i-q2+r2+2pqr=1”,而待证式等价于p+q+r≤寻.
不妨设p=cosA,q=cosB,r--cost,则待证式等价于
c。+co胡+c。sc≤3,.,此式南琴生不等式可知,即证.
例4(1998年伊朗数学奥赛试题)设菇,),,z>1,一1+
!+!:2,求证:、/丽≥何+何+vT:i-.
证明:令。:、厨,6:x/y-1一,c:vTZi-,贝Ⅱj一+j一+÷_2'即击+丽1+去_2'¥[1a2b2+b2c2+c谨+2矛b2cZ=_1.
令p=ab,q=bc,r=c口,则“db2+b2c2+c2a2+2孑b2c2=l”可变形
为“p2+q2+r2+2pqr=-I”,待证式等价于V'—a2+b2+—c2+3≥叶6+
万方数据
学馔
cj曲+bbc+ca≤要=却+q+r≤要,显然成立.cj曲+
≤号=却+q+r≤÷,显然成立.
由以上几例不难看出,它们共同点都是与条件p:+
q2+r2+2pqr=l相关,问题证明的关键是通过三角代换转
化为cosA+cosB+cosC一<÷.事实上,这种变换下的竞赛
题是在“cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1”条件下进
行,若我们能关注条件“口,b,C∈R+,口+6托=l”下的不等
式证明,不等式cosA+cosB+cosC。<÷仍然是证明的关键
翻舢:尝a+bc+霉b+ca+等≤寻.c恸
Z
持=÷证明:在AABC中,tan半一tan卜导)=
一=一.
tan——Jtan一
A
,整理即可得。生2曰
僵辟
P;p¨J僭~‘tall一
l—Lan尘tan旦ian旦+2
一十
taIl旦’一
t锄旦taII旦+tan旦t柚尘:1.
——=~=——
口=咖旦2
t卸导,6=tan导t鲫鲁,c=胁尘2~’
2‘
2
2
tan旦2,则
a-bct蚰詈t趴旦2也一扣詈tar-导‰选2
2
2
2
2
1—1
..
.
a+bc
——Lan——+tan
‘
1
同理可得竽竺=cosB,!萼--cosC,所以待证式等价
于cosA+cosB+cosC一<÷,此式显然成立,即证.
2cosAc。sBc。sC:1,,与"tall尘Ian旦+tan旦tanc+tanc.
taniA=1”其实就是某一类代数证明问题的“出题背景”,
其证明关键就是通过"cosA+c。sB+cosc≤毒,,或"sin—A+
sinB2+sin导≤寻”,若我们能抓住这个“源”,万变不离
其“源”,这样能大大简化我们的思考与分析,当然这点
也是我们平时所需要积累的.Ill
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浅析一道竞赛集训队试题的源与流作者:
作者单位:
刊名:
英文刊名:
年,卷(期):王敬全江苏省溧水县第二高级中学中学数学Middle School Mathematics2014(7)
引用本文格式:王敬全 浅析一道竞赛集训队试题的源与流[期刊论文]-中学数学 2014(7)
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