浅析一道竞赛集训队试题的源与流

教学参谋

新颖试题

２０１４年４月

浅析一道竞赛集训队试题的源与流

◎江苏省溧水县第二高级中学

王敬全

笔者在竞赛辅导中遇到如下一道赛题：

题目

（２００７年美国国家集训队试题）设ａ，ｂ，Ｃ＞ｔ０，

去＋击＋去幺求证：洲ｃ＋ｃ口≤寻．

本文就该试题的来源谈谈笔者的一点粗浅看法，同时给出该题的“源”在各级各类数学竞赛中的一些相关应用，希望对读者的学习能起到抛砖引玉的作用．

一、试题的源

由条件击＋击＋击＝２，ａ２ｂ２＋ｂＥｃＺ＋ｃ２ａ２＋

２扔２ｃ２－１．

令ｐ＝ａｂ，ｑ＝ｂｃ，ｒ＝ｃａ，则“确２＋ｂ２ｃ２＋ｃ轷＋２彩２ｃ２＝１”可

变形为ｐ２＋９２＋冉２ｐｑｒ＝１．注意到在ＡＡＢＣ＠，Ａ＋曰＋ｃ＝１ｒ．

故ｃｏｓ２Ａ＝ｃｏｓ２（Ｂ＋Ｃ）＝（ｃｏｓＢｃｏｓＣ—ｓｉｎＢｓｉｎＣ）２

＝ｃｏｓ２Ｂｃｏｓ２Ｃ＋（１－ｃｏｓ２Ｂ）（１－ｃｏｓ２Ｃ）一２ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１一ｃｏｓ２Ｂ—ＣＯＳ２Ｃ＋２ｃｏｓＢｃｏｓＣ（ｃｏｓＢｃｏｓＣ—ｓｉｎＢｓｉｎＣ）＝１－ｃｏｓ氇—ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＢｃｏｓＣｃｏｓ（Ｂ＋Ｃ）

＝１－ｃｏｓ２Ｂ—ＣＯＳ２Ｃ一２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ．

故ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＥＢ＋ＣＯＳ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１．

对比Ｐ２叼２＋ｒ２＋２ｐｑｒ＝１与ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝ｌ，二者具有高度的“一致性”，于是我们进行如下代换：ｐ＝ａｂ＝ｃｏｓＡ，ｑ＝ｂｃ＝ｃｏｓＢ，ｒ－－ｃａ＝ｃｏｓｔ，于是

＾

＾

待证式ｎ６＋６ｃ＋ｃｏ≤÷等价于ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ曰＋ｃｏｓＣ一＜２１－．

由琴生不等式可知ｃ。ｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃ。ｓｃ≤３ｃｏｓＡ＋Ｂ．十Ｃ：

÷，故待证结论成立．

至此问题柳暗花明，原来“ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ一＜÷”与

“ａｂ＋ｂｃ＋ｃｏ≤三”其实是一回事，三角不等式“ｃｏｓＡ＋

——■——一十。７擞．７高中版万方数据

ｃｏｓＢ＋ｃｏｓｃ≤要”其实就是题目的源，也许命题人正是注

意到这点，才有上述题目的出现．

根据此思想，我们可进行类似的试题命制．大家知道，在ＡＡＢＣ中有如下结论：（限于篇幅请读者自行证明）

（１）ｌ＜ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ≤÷；（２）ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎＣ≤

詈、／了，ｃ。ｓＡｃｏｓＢｃ。ｓｃ≤吉；（３）ｃ。ｓ疆＋ｃ。ｓ氇＋ｃ。ｓ２ｃ≥寻．

由前面的分析知，条件‘．ｐ２＋ｑ２＋＾２ｐｑｒ＝ｌ”与ＡＡＢＣ

中“ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１”在代换Ｐ＝

ｃｏｓＡ，ｑ＝ｃｏｓＢ，ｒ＝ｃｏｓＣ下具有等价性．

于是上述结论（１）（２）（３）中的不等式分别转化为如下不等式：

（４）１印＋ｑ＋ｒ≤ｉ３；（５）（１－ｐ２）（１一９２）（１－ｒｚ）≤面２７，

Ｍ≤扣６）ｐ２＋ｑ２＋ｒ２≥÷

类似的不等式读者可进行自行探究，在此不再一一赘述．

二、试题的流

通过对题目的探“源”，不难发现不等式“ｃｏｓＡ＋

ｃｏｓＢ＋ｃｏｓｃ≤要”其实也就是解决问题的关键所在．事实

上，与此三角不等式相关的不等式证明问题在近几年的国内外各级各类数学竞赛中屡见不鲜，下面略举几例说

明，希望对读者有所帮助．

例１（２００６年全国高中数学联赛河南省预赛试题）

设石，Ｙ，彳＞ｏ，戈＋ｙ榭＋÷师＝１，求证：、／ｉ＋、／歹＋、／了

２０１４年４月

＋÷师乱

证明：令ｘ＝１６ｐ２，ｙ：１６９２，ｚ＝１６ｒ２，则“ｘ十），忆＋÷、／；万＝１’’可以转化为‘‘Ｐ２＋９２∥＋劫ｇｒ＝丧”，则待证式等价于Ｐ＋ｇ＋ｒ＋枷≤÷

由题目的证明可知ｐ＋ｇ＋ｒ＝ｃｏｓＡ＋ｃ。出＋ｃｏｓｃ＿＜３２

Ｋ

ｐｑｒ≤÷，即知待证式成立．

例２（２００５绷尼亚国家队数学奥赛预选试题）

设ａ，６，ｃ＞Ｏ，ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＋２ａｂｃ＝１，求证：、／石＋、／万＋、／五

≤三

２

证明：注意到条件“ａｂ＋ｂｃ＋ｃ口＋２击ｃ＝１”可以转化为

“（、／万）２＋（、／爵）２＋（、／磊）：＋２、／万?、／瓦?、／瓦＝１”．

若令茁＝、／ｉ，产、／万，ｚ＝、／五，则已知条件还可以

转化为茗坼冉２班＝１，待证式转化为并岬忆≤寻．

不妨设ｘ＝ｃｏＭ，ｙ＝ｃｏｓＢ，ｇ＝ｃｏｓｔ，则待证式等价于

ｃ。矾＋ｃ。曲＋ｃｏｓｃ≤要。此式由琴生不等式可知，ｅＰｉＣ．

例３（第２ｌ届伊朗奥赛试题）：设ａ，ｂ，ｃ＞Ｏ，ａ２４．ｂ２＋ｃ２＋ａｂｃ＝４，求证：口＋６＋ｃ≤３．

ｉ正ｌ！ｇ：令ｏ＝劲，ｂ＝２ｑ，ｃ＝２ｒ，则条件“ｄ＋ｂ２＋ｃ２＋ａｂｃ＝４”

变形为‘＇ｐ２－ｉ－ｑ２＋ｒ２＋２ｐｑｒ＝１”，而待证式等价于ｐ＋ｑ＋ｒ≤寻．

不妨设ｐ＝ｃｏｓＡ，ｑ＝ｃｏｓＢ，ｒ－－ｃｏｓｔ，则待证式等价于

ｃ。＋ｃｏ胡＋ｃ。ｓｃ≤３，．，此式南琴生不等式可知，即证．

例４（１９９８年伊朗数学奥赛试题）设菇，），，ｚ＞１，一１＋

！＋！：２，求证：、／丽≥何＋何＋ｖＴ：ｉ－．

证明：令。：、厨，６：ｘ／ｙ－１一，ｃ：ｖＴＺｉ－，贝Ⅱｊ一＋ｊ一＋÷＿２＇即击＋丽１＋去＿２＇￥［１ａ２ｂ２＋ｂ２ｃ２＋ｃ谨＋２矛ｂ２ｃＺ＝＿１．

令ｐ＝ａｂ，ｑ＝ｂｃ，ｒ＝ｃ口，则“ｄｂ２＋ｂ２ｃ２＋ｃ２ａ２＋２孑ｂ２ｃ２＝ｌ”可变形

为“ｐ２＋ｑ２＋ｒ２＋２ｐｑｒ＝－Ｉ”，待证式等价于Ｖ＇—ａ２＋ｂ２＋—ｃ２＋３≥叶６＋

万方数据

学馔

ｃｊ曲＋ｂｂｃ＋ｃａ≤要＝却＋ｑ＋ｒ≤要，显然成立．ｃｊ曲＋

≤号＝却＋ｑ＋ｒ≤÷，显然成立．

由以上几例不难看出，它们共同点都是与条件ｐ：＋

ｑ２＋ｒ２＋２ｐｑｒ＝ｌ相关，问题证明的关键是通过三角代换转

化为ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ一＜÷．事实上，这种变换下的竞赛

题是在“ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ＋２ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ＝１”条件下进

行，若我们能关注条件“口，ｂ，Ｃ∈Ｒ＋，口＋６托＝ｌ”下的不等

式证明，不等式ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ。＜÷仍然是证明的关键

翻舢：尝ａ＋ｂｃ＋霉ｂ＋ｃａ＋等≤寻．ｃ恸

Ｚ

持＝÷证明：在ＡＡＢＣ中，ｔａｎ半一ｔａｎ卜导）＝

一＝一．

ｔａｎ——Ｊｔａｎ一

Ａ

，整理即可得。生２曰

僵辟

Ｐ；ｐ¨Ｊ僭～‘ｔａｌｌ一

ｌ—Ｌａｎ尘ｔａｎ旦ｉａｎ旦＋２

一十

ｔａＩｌ旦’一

ｔ锄旦ｔａＩＩ旦＋ｔａｎ旦ｔ柚尘：１．

——＝～＝——

口＝咖旦２

ｔ卸导，６＝ｔａｎ导ｔ鲫鲁，ｃ＝胁尘２～’

２‘

２

２

ｔａｎ旦２，则

ａ－ｂｃｔ蚰詈ｔ趴旦２也一扣詈ｔａｒ－导‰选２

２

２

２

２

１—１

．．

．

ａ＋ｂｃ

——Ｌａｎ——＋ｔａｎ

‘

１

同理可得竽竺＝ｃｏｓＢ，！萼－－ｃｏｓＣ，所以待证式等价

于ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＣ一＜÷，此式显然成立，即证．

２ｃｏｓＡｃ。ｓＢｃ。ｓＣ：１，，与＂ｔａｌｌ尘Ｉａｎ旦＋ｔａｎ旦ｔａｎｃ＋ｔａｎｃ．

ｔａｎｉＡ＝１”其实就是某一类代数证明问题的“出题背景”，

其证明关键就是通过＂ｃｏｓＡ＋ｃ。ｓＢ＋ｃｏｓｃ≤毒，，或＂ｓｉｎ—Ａ＋

ｓｉｎＢ２＋ｓｉｎ导≤寻”，若我们能抓住这个“源”，万变不离

其“源”，这样能大大简化我们的思考与分析，当然这点

也是我们平时所需要积累的．Ｉｌｌ

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浅析一道竞赛集训队试题的源与流作者：

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年，卷(期)：王敬全江苏省溧水县第二高级中学中学数学Middle School Mathematics2014(7)

引用本文格式：王敬全 浅析一道竞赛集训队试题的源与流[期刊论文]-中学数学 2014(7)