2011年浙江省高中数学竞赛试题

2011年浙江省高中数学竞赛试题

2011年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1. 已知 ?

[5?3?,] ） 42

A．2sin B. ?2sin C. ?2cos D. 2cos

2．如果复数?a?2i??1?i?的模为4，则实数a的值为（ ）

A. 2

B. C. ?2

D. ?

3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：x?A?B， 命题q：x?A或x?B，则p是q的（ ）

A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件

C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件

x2

?y2?1的右焦点F2作倾斜角为45弦AB，则AB为（ ） 4. 过椭圆2

A.

B.

C.

D. 3?1?5?x

5. 函数f(x)??x?5?1x?0x?0，则该函数为（ ）

A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数

C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）

2

2 2 2

3 1

1 正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）

A. 4+5?3?? B. 4+ C. 4+ D. 4+? 222

7．某程序框图如右图所示，现将输出（x,y)值依次记为：(x1,y1),(x2,y2),

中输出的一个数组是 (x,?10),则数组中的x?（ ）

1 ,(xn,yn),;若程序运行

2011年浙江省高中数学竞赛试题

A．64 B．32 C．16 D．8

8. 在平面区域(x,y)|x|?1,|y|?1上恒有ax?2by?2，则动点P(a,b)所形

成平面区域的面积为（ ）

A. 4 B.8 C. 16 D. 32

9. 已知函数f(x)?sin(2x?

为（ ） A. ?, 1? B ?, 1? C. ?, 1? D. ?, 1? ?2??2??2??2?

10. 已知a?[?1,1]，则x2?(a?4)x?4?2a?0的解为（ ）

A. x?3或x?2 B. x?2或x?1 C. x?3或x?1 D. 1?x?3

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，

共49分）

11.

函数f(x)?2sin??????)?m在?0,?上有两个零点，则m的取值范围6?2??1??1??1??1?xx的最小正周期为__________。 2

12. 已知等差数列?an?前15项的和S15=30，则a1?a8?a15=__________.

13. 向量a?

(1,sin )，b?(cos ， ?R，则a?b的取值范围为。

?ABC是正三角形，P，E分别为BB1，CC1上的动点（含端点）,D14. 直三棱柱ABC?A1B1C1，底面

为BC边上的中点，且PD?PE。则直线AP,PE的夹角为__。

15．设x,y为实数，则22max(x?y)?____________。 225x?4y?10x

16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_________种。（用组合数符号表示）

17. 设x,y,z为整数，且x?y?z?3,x3?y3?z3?3，则x2?y2?z2?__。

三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）

18. 设a?2，求y?(x?2)x在[a, 2]上的最大值和最小值。

2

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2xn?1yn?119. 给定两个数列?xn?，?yn?满足x0?y0?1，xn?(n?1)， yn?(n?1)。2?xn?11?2yn?1

证明对于任意的自然数n，都存在自然数jn，使得 yn?xjn。

x2y2

20. 已知椭圆2?2?1，过其左焦点F1作一条直线交椭圆于A，B两点，D(a,0)为F1右侧一点，连54

AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 F1，求 a的值。

3

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2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准

1．解答：因为 ?

[5?3?,]cos ?sin ?cos ?sin 42

s。正确答案为D。 ?2co

2．

?4?a??2。正确答案为C。

3．解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。

4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为y?x?1,代入椭圆方程得

3x2?4x?0?x1?0,x2?4。正确答案为C。 ?AB??33

5. 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。

6. 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（

为2?2?1?3???），所以该几何体的体积2?

2

7. 答案 经计算x?32。正确答案为 B。 ?4?5?。正确答案为A。 2

8. 解答：平面区域(x,y)|x|?1,|y|?1的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），（1，1）满足ax?2by?2，即有a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a?2b?2,由此计算动点P(a,b)所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。

9. 解答：问题等价于函数f(x)?sin(2x???????)与直线y?m在?0,?上有两个交点，所以m的取值范6?2?

围为?, 1?。正确答案为C。

10. 解答：不等式的左端看成a的一次函数，f(a)?(x?2)a?(x?4x?4)

由f(?1)?x?5x?6?0,f(1)?x?3x?2?0?x?1或x?3。正确答案为C。

11. 解答：最小正周期为4?。

12.解答：由S15?30?a1?7d?2，而a1?a8?a15?3(a1?7d)?6。

13.

解答：a?b??

其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。

4 ?1?2??222 ，

2011年浙江省高中数学竞赛试题

14. 解答：因为平面ABC⊥平面BCC1B1，AD⊥BC，所以AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为90。

15. 解答：5x2?4y2?10x?4y2?10x?5x2?0?0?x?2

4(x2?y2)?10x?x2?25?(5?x)2?25?32?x2?y2?4

30016. 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有C1710种关灯方法。

17. 解答：将z?3?x?y代入x3?y3?z3?3得到xy?3(x?y)?9?8，因为x,y都是整数，x?y

所以?4?x?y?2?x?y8??x?y?1?x?y?前,?,?,?,两个方程组无解；后两个方程组解得?5y1y16?xy?2?xy?x??x?

x?y?z?1;x?y?4,z??5。所以x2?y2?z2?3或57。

18. 解答：当x?0,y??(x?1)2?1, 当x?0,y?(x?1)2?1,

由此可知 ymax?0。

当1?a?2,ymin?a2?

2a；当1?a?1,ymin??1；

当a?1ymin??a2?2a。

19. 解答：由已知得到：12111?1???1?2(1?)?{?1}为等比数列，首项为2，公比xnxn?1xnxn?1xn

为2， 所以11。 ?1?2n?1?xn?n?1xn2?1

(yn?1?1)2y?1yn?1?12112又由已知，yn?1??n?()?1??(1?) 1?2yn?1ynyn?1ynyn?1

n111n2由1?， 所以取jn?2?1即可。 ?2?1??2?yn?ny0yn22?1

2520. 解答：F1(?3,0),左准线方程为x??方程为y?k(x?3)(k为斜率)。 3

5