高中数学竞赛讲座 13平面三角

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高中数学竞赛讲座 13平面三角

竞赛讲座13

－平面三角

三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．

一、三角函数的性质及应用

三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．

【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。

解：y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。

由2kπ-

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≤2x+≤2kπ+，k∈Z，

得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z。

即原函数的单调增区间为：[kπ-，kπ-]（k∈Z）。

【例2】若φ∈（0，

的大小。），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间

解：∵在（0，）中，sinx<x<tgx，而0<cosx<1<，∴sin(cosφ)< cosφ。

∵在（0，）中，y=cosx单调递减，∴cosφ< cos(sinφ)。

∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

【例3】已知x,y∈[-的值。，]，a∈R，且。求cos(x+2y)

解：原方程组化为。

∵x,-2y∈[-，]，函数f(t)=t+sint在[-3，]上单调递增，且f(x)=f(-2y) ∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。

【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得 sin（cosc）＝ c， cos（sind）＝ d．

证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin）－= cos 1－<0，

∴存在唯一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d．

对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c。

显然c∈（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。

故存在唯一的c＜d，使命题成立。

【例5】α、β、γ∈（0，

比较α、β、γ的大小。），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。

解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0< sinγ<γ<。

∴β=sin(ctgβ)< ctgβ，γ=ctg(sinγ)> ctgγ。

作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：β<α<γ。

【例6】 n∈N，n≥2，求证：cos·cos· ··· ·cos>。

证明：∵0<<<···<<<1， ∴0<sin<，cos2=1-sin2>1-=，k=2，3，…，n。 ∴(cos·cos· ··· ·cos)>(2·)·(·)·(·

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)···(·) =·>>()，

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∴cos·cos· ··· ·cos>。

二、三角恒等变换

众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。

【例1】（1）已知cosβ= -

的值。，sin(α+β)= ，且0<α<<β<π，求sinα

（2）已知sin(-α)= ，求的值。

提示：（1）sinα=。

（2）sin2α=1-2 sin(2-α)=；=。

【说明】三角变换重在角的变换。

【例2】求coscoscos…cos的值。

解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2θ=n，得 coscoscoscos= -，∴coscoscoscos=。

又coscos=，cos=，

∴coscoscos…cos=××=。

解法2：coscoscos…cos =··· ··· · ==。

解法3：利用公式cosαcos(

44+α)cos(4-α)= cos3α，取α=、。【例3】求cos20°+cos40°+cos80°的值。

解：由倍角公式得

cosθ=(4)=2 (1+2cos2θ+cos2θ)= +2cos2θ+cos4θ， ∴cos20°+cos40°+cos80°= ×3+444(cos40°+ cos80°+ cos160°) +(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°) = +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。

【例4】若sinα+cosβ

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=，cosα+sinβ=，求sinαcosβ的值。

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