高中数学竞赛讲座 13平面三角
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高中数学竞赛讲座 13平面三角
竞赛讲座13
-平面三角
三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一.
一、三角函数的性质及应用
三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用.
【例1】 求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。
解:y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。
由2kπ-
内容需要下载文档才能查看≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z。
即原函数的单调增区间为:[kπ-,kπ-](k∈Z)。
【例2】 若φ∈(0,
的大小。 ),比较sin(cosφ),cos(sinφ),cosφ这三者之间
解:∵在(0,)中,sinx<x<tgx,而0<cosx<1<,∴sin(cosφ)< cosφ。
∵在(0,)中,y=cosx单调递减,∴cosφ< cos(sinφ)。
∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。
【例3】 已知x,y∈[-的值。 ,],a∈R,且。求cos(x+2y)
解:原方程组化为。
∵x,-2y∈[-,],函数f(t)=t+sint在[-3,]上单调递增,且f(x)=f(-2y) ∴x=2y,∴cos(x+2y)=1。
【例4】 求证:在区间(0,)内存在唯一的两个数c、d(c<d),使得 sin(cosc)= c, cos(sind)= d.
证明:考虑函数f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0,]内是单调递减的,并且连续,由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0,f()=cos(sin)-= cos 1-<0,
∴存在唯一的d∈(0,),使f(d)=0,即cos(sind)= d.
对上式两边取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind))=sin d,sin(cosc)=c。
显然c∈(0,)。且由y=sinx在(0,)上的单调性和d的唯一性,知c也唯一。
故存在唯一的c<d,使命题成立。
【例5】α、β、γ∈(0,
比较α、β、γ的大小。 ),且ctgα=α,sin(ctgβ)=β,ctg(sinγ)=γ。
解:∵α、β、γ∈(0,),∴ctgβ>0,0< sinγ<γ<。
∴β=sin(ctgβ)< ctgβ,γ=ctg(sinγ)> ctgγ。
作出函数y=ctgx在(0,)上的图象,可看出:β<α<γ。
【例6】 n∈N,n≥2,求证:cos·cos· ··· ·cos>。
证明:∵0<<<···<<<1, ∴0<sin<,cos2=1-sin2>1-=,k=2,3,…,n。 ∴(cos·cos· ··· ·cos)>(2·)·(·)·(·
内容需要下载文档才能查看)···(·) =·>>(),
内容需要下载文档才能查看2
∴cos·cos· ··· ·cos>。
二、三角恒等变换
众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换,除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外,更重要的是抓住三角式的结构特征,从角和函数名入手,深入分析,灵活解题。
【例1】(1)已知cosβ= -
的值。 ,sin(α+β)= ,且0<α<<β<π,求sinα
(2)已知sin(-α)= ,求的值。
提示:(1)sinα=。
(2)sin2α=1-2 sin(2-α)=;=。
【说明】三角变换重在角的变换。
【例2】求coscoscos…cos的值。
解法1:利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2θ=n,得 coscoscoscos= -,∴coscoscoscos=。
又coscos=,cos=,
∴coscoscos…cos=××=。
解法2:coscoscos…cos =··· ··· · ==。
解法3:利用公式cosαcos(
44+α)cos(4-α)= cos3α,取α=、。 【例3】求cos20°+cos40°+cos80°的值。
解:由倍角公式得
cosθ=(4)=2 (1+2cos2θ+cos2θ)= +2cos2θ+cos4θ, ∴cos20°+cos40°+cos80°= ×3+444(cos40°+ cos80°+ cos160°) +(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°) = +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。
【例4】若sinα+cosβ
内容需要下载文档才能查看=,cosα+sinβ=,求sinαcosβ的值。
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