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高中数学竞赛讲座 13平面三角

上传者:陈导
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上传时间:2015-04-15
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高中数学竞赛讲座 13平面三角

竞赛讲座13

-平面三角

三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一.

一、三角函数的性质及应用

三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用.

【例1】 求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。

解:y=2sin(-2x)= 2sin(2x+)。

由2kπ-

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≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得kπ-≤x≤kπ-,k∈Z。

即原函数的单调增区间为:[kπ-,kπ-](k∈Z)。

【例2】 若φ∈(0,

的大小。 ),比较sin(cosφ),cos(sinφ),cosφ这三者之间

解:∵在(0,)中,sinx<x<tgx,而0<cosx<1<,∴sin(cosφ)< cosφ。

∵在(0,)中,y=cosx单调递减,∴cosφ< cos(sinφ)。

∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。

【例3】 已知x,y∈[-的值。 ,],a∈R,且。求cos(x+2y)

解:原方程组化为。

∵x,-2y∈[-,],函数f(t)=t+sint在[-3,]上单调递增,且f(x)=f(-2y) ∴x=2y,∴cos(x+2y)=1。

【例4】 求证:在区间(0,)内存在唯一的两个数c、d(c<d),使得 sin(cosc)= c, cos(sind)= d.

证明:考虑函数f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0,]内是单调递减的,并且连续,由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0,f()=cos(sin)-= cos 1-<0,

∴存在唯一的d∈(0,),使f(d)=0,即cos(sind)= d.

对上式两边取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind))=sin d,sin(cosc)=c。

显然c∈(0,)。且由y=sinx在(0,)上的单调性和d的唯一性,知c也唯一。

故存在唯一的c<d,使命题成立。

【例5】α、β、γ∈(0,

比较α、β、γ的大小。 ),且ctgα=α,sin(ctgβ)=β,ctg(sinγ)=γ。

解:∵α、β、γ∈(0,),∴ctgβ>0,0< sinγ<γ<。

∴β=sin(ctgβ)< ctgβ,γ=ctg(sinγ)> ctgγ。

作出函数y=ctgx在(0,)上的图象,可看出:β<α<γ。

【例6】 n∈N,n≥2,求证:cos·cos· ··· ·cos>。

证明:∵0<<<···<<<1, ∴0<sin<,cos2=1-sin2>1-=,k=2,3,…,n。 ∴(cos·cos· ··· ·cos)>(2·)·(·)·(·

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)···(·) =·>>(),

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2

∴cos·cos· ··· ·cos>。

二、三角恒等变换

众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换,除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外,更重要的是抓住三角式的结构特征,从角和函数名入手,深入分析,灵活解题。

【例1】(1)已知cosβ= -

的值。 ,sin(α+β)= ,且0<α<<β<π,求sinα

(2)已知sin(-α)= ,求的值。

提示:(1)sinα=。

(2)sin2α=1-2 sin(2-α)=;=。

【说明】三角变换重在角的变换。

【例2】求coscoscos…cos的值。

解法1:利用公式cosθcos2θcos4θ···cos2θ=n,得 coscoscoscos= -,∴coscoscoscos=。

又coscos=,cos=,

∴coscoscos…cos=××=。

解法2:coscoscos…cos =··· ··· · ==。

解法3:利用公式cosαcos(

44+α)cos(4-α)= cos3α,取α=、。 【例3】求cos20°+cos40°+cos80°的值。

解:由倍角公式得

cosθ=(4)=2 (1+2cos2θ+cos2θ)= +2cos2θ+cos4θ, ∴cos20°+cos40°+cos80°= ×3+444(cos40°+ cos80°+ cos160°) +(cos80°+ cos160°+ cos320°)= +(cos40°+ cos80°+ cos160°) = +(2cos60° cos20°- cos20°)= 。

【例4】若sinα+cosβ

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=,cosα+sinβ=,求sinαcosβ的值。

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