高中数学竞赛讲座 19排列组合、二项式定理

竞赛讲座19

-排列、组合、二项式定理

基础知识

1．排列组合题的求解策略

（1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略．

（2）分类与分步

有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理．

（3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数．

（4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间．

（5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列．

（6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为C11，这也就是方程3

a b c d 12的正整数解的个数．

2．圆排列

（1）由A {a1,a2,a3, ,an}的n个元素中，每次取出r个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）．

（2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列．

（3）定理：在A {a1,a2,a3, ,an}的n个元素中，每次取出r个不同的元素进行Pnr圆排列，圆排列数为． r

3．可重排列

允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列．

在m个不同的元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、 、第n位是的选取元素的方法都是m种，所以从m个不同的元素中，每次取出n个元素的可重复的排列数为m．

n

4．不尽相异元素的全排列

如果n个元素中，有p1个元素相同，又有p2个元素相同， ，又有ps个元素相同（p1 p2 ps n），这n个元素全部取的排列叫做不尽相异的n个元素的全排列，它的排列数是

5．可重组合

（1）从n个元素，每次取出p个元素，允许所取的元素重复出现1,2, ,p次的组合叫从n个元素取出p个有重复的组合．

r（2）定理：从n个元素每次取出p个元素有重复的组合数为：Hnp Cn (p 1)． n! p1! p2! ps!

6．二项式定理

（1）二项式定理(a b) n C

k 0nkn． an kbk（n N*）

（2）二项开展式共有n 1项．

rn rr（3）Tr 1 Cnab（0 r n）叫做二项开展式的通项，这是开展式的第r 1

项．

（4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等．

（5）如果二项式的幂指数n是偶数，则中间一项的二项式系数C最大；如果n是奇数，则中间两项的二项式系数Cn 1

2nn2n与Cn 1

2n最大．

（6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即

024135Cn Cn Cn Cn Cn Cn

7．数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法

二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却对其情有独钟．

（1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式；

（2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合；

（3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩；

（4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决．

例题分析

例1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？

例2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？

例3．有2n个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？

例4．将n 1个不同的小球放入n个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？

例5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？

例6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？

例7．用A,B,C,D,E五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式？

例8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？

例9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？

例10。.8位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种？

例11．某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道．如果有人从城南北角（图A点）走到东南角中B点最短的走法有多少种？

例12．用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码？

例13．将r个相同的小球，放入n个不同的盒子（r n）．

（1）有多少种不同的放法？

（2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？

例14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．（只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的）

例15．设n 1990，求

值．

例16．当n N时，(3 7)的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论． 例17．已知数列a0,a1,a2,a3, （a0 0）满足：ai 1 ai 1 2ai(i 1,2,3, ) 求证：对于任意正整数n，

01n 1n 1nnp(x) a0Cn(1 x)n a1Cnx(1 x)n 1 an 1Cnx(1 x) anCnx是一次*12464198(1 3Cn 32Cn 33Cn 39Cnn25190 39Cn)的

多项式或零次多项式．

例18．若(5 2)2r 1 m a（r,m N,0 a 1），求证：a(m a) 1． *

例19．设x (15 220)19 (15 220)82的整数部分，求x的个数数字． 例20．已知(1 2)100 a 2b（a,b N）求ab的个位数字．

例21．试证大于(1 3)2n的最小整数能被2n 1整除（n N）．

例22．求证：对任意的正整数n，不等式(2n 1)n (2n)n (2n 1)n．

例23．设a,b R ，且11 1．求证对于每个n N，都有 ab

(a b)n an bn 22n 2n 1

训练题

1．8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（ ）种

（A）15 （B）30 （C）48 （D）60

2．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

3．若(1 x x)21000的展开式为a0 a1x a2x2 a2000x2000，则

a0 a3 a6 a9 a1998的值为

（A）3

种

（A）144 （B）121 （C）64 （D）81

5．从7名男乒乓球队员，5名女乒乓球队员中选出4名进行男女混合双打，不同的分组方法有（ ）种

222222（A）2C7C5 （B）4C7C5 （C）P72P52 （D）C7C5 333 （B）3666 （C）3999 （D）32001 4．某人从楼下到楼上要走11级楼梯，每步可走1级或2级，不同的走法有（ ）

6．有5分、1角、5角的人民币各2枚、3张、9张，可组成的不同币值（非0）有（ ）种

（A）79 （B）80 （C）88 （D）89

7．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种

8． 把(7 6)6写成N 1

N的形式，为N自然数，则N＝

9．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{ 3, 2, 1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______．

10．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共种．

11．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；（2）a b,b c,c d,d a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________．

12．在一个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有 种载种方案．

13．10人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4人，有 种坐法．

14．19912000除以10的余数是． 6

15．设(52 7)2n 1的展开中，用I记它的整数部分，F记它的小数部分．求证：(I F)F是一定值．

16．从1,2,3, ,19中，按从小到大的顺序选取a1,a2,a3,a4四个数，使得a2 a1 2，a3 a2 3，a4 a3 4．问符合上要求的不同取法有多少种？

17．8人围张一张圆桌，其中A、B两人不得相邻，而B、C两人以必须相邻的不同围坐方式有多少种？

18．4对夫妇去看电影，8人坐成一排．若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性，共有多少种坐法？

19．求证：C C C n 21

n2nnnn 12．

20．设n 2，n N，a b 0，a b．求证：2n 1(an bn) (a b)n．